Finanzmathematik, vorschüssig nachschüssig

Question

Startkapital

Simon möchte sich selbständig machen. Er setzt für die Gründung seines Unternehmens als Startkapital seine Ersparnisse und einen Kredit ein.

a) Er hat während der letzten 10 Jahre die folgenden Zahlungen auf ein mit 2,1 % p.a. verzinstes Sparbuch getätigt: Zu Beginn des 1. Jahres € 20.000, zu Beginn des 4. Jahres € 75.000 und ab dem Beginn des 8. Jahres eine monatliche vorschüssige Rate von € 450.

- Erstellen Sie eine Zeitlinie zu diesem Zahlungsfluss

- Berechnen Sie, über welchen Betrag Simon nach diesen 10 Jahren verfügen kann.

Simon möchte mit monatlich naschüssigen Raten R in 10 Jahren denselben Betrag ansparen.

- Erstellen Sie eine Gleichung, mit der die Höhe dieser Rate berechnet werden kann.

 

Bräuchte eure Hilfe zu folgenden Beispiel! (Oben die Aufgabe unten die Lösung) Was genau bedeutet vorschüssig und was bedeutet nachschüssig und wo sind da genau die Unterschiede bei der Rechnung? Warum muss ich bei den 450€ anders rechnen als bei den vorherigen Einzahlungen? Warum muss ich dort den Zinssatz hoch 1/12 nehmen und einmal hoch 3 ? Vielen Dank schonmal im voraus! mfg!

Answer 1

> Was genau bedeutet vorschüssig und was bedeutet nachschüssig und wo sind da genau die Unterschiede bei der Rechnung? 

Vorschüssig erfolgen die Einzahlungen jeweils am Jahresanfang des Zinsjahres, nachschüssig am Jahresende. Vorschüssig hat man also ein Zinsjahr mehr.

> Warum muss ich bei den 450€ anders rechnen als bei den vorherigen Einzahlungen? Warum muss ich dort den Zinssatz hoch 1/12 nehmen und einmal hoch 3 ?

Die 450€  werden 3 Jahre lang monatlich eingezahlt, deswegen rechnet man vor mit dem "konformen Zinssatz"   ¹²√0,021 - 1 ( → q =  ¹²√0,021 )  für 1/12 Jahr  statt mit 0,021 wie bei den jährlichen Einmalzahlungen. 

Das sind die Formeln, die man bei solchen Aufgaben benötigt:

q = 1 + p/100 = 1+ i

 Jahresersatzraten bei Verzinsung alle 1/n Jahr:

Jahresersatzrente_{nachschüssig} =  r_n * (12 + (n-1)/2 * i)

Jahresersatzrente_vorschüssig   =  r_n * (12 + (n+1)/2 * i)

 

Barwert_vorschüssig      =  r • (qⁿ - 1) / [ q^n-1 • (q - 1) ]

Barwert_{nachschüssig}   =  r • (qⁿ - 1) / [ qⁿ • (q - 1) ]

Endwert_vorschüssig      =  r • q • (qⁿ - 1) / (q - 1) 

Endwert_{nachschüssig}   =  r •  (qⁿ - 1) / (q - 1)

Effektivzinssatz:

I_eff  = (1 + i_nom / m )^m  - 1

 Konformer  Zinssatz:

I_kon  =  ( 1 + i_nom )^1/m - 1

Gruß Wolfgang