Log10(x) - Log100(x) = 1

Question

Hallo.

Folgende Aufgabenstellung:

Log10(x) - Log100(x) = 1

Die Logarithmen habe ich halbwegs verstanden.

Meine Schritte waren wie folgt.

1. Log100(x) auf die linke Seite stellen.

Log10(x)  = 1 + Log100(x) | u= log10(x)

u = 1+ U/2 --> Beim Lösungsweg steht jetzt U/2. Ich verstehe jedoch nicht wieso.

Bei Aufklärung würde ich mich sehr freuen.

Grüsse

KS

Answer 1

Meinst du diesen Schritt?

u = 1+ u/2        | -u/2

u/2 = 1 

Oder den Schritt vorher? Betrachte dazu diese Rechnung: 

u = log₁₀x <==> 10^{u} = x

v = log₁₀₀x <==> 100^{v} = x = (10^2)^v = 10^{2v} 

==> 10^{u} = 10^{2v}

==> u = 2v 

==> u/2 = v 

Comments

Srry

Gemeint war u = log10(x)

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Das habe ich mE inzwischen oben ergänzt. 

Es geht ja darum, dass du x aus den Logarithmen rausbringen solltest und das kannst du über die Definition des Logarithmus und die Potenzgesetze tun. 

Kontrolliere das Resultat damit:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Log10(x)+-+Log100(x)+%3D+1 

Answer 2

Reines Lösen nur über Potenzgesetze:

log10(x) - log100(x) = 1

100^{log10 x - log100 x} = 100^1

100^{log10 x} / 100^{log100 x} = 100^1

(10^2)^(log10 x) / x = 100

(10^(log10 x))^2 / x = 100

x^2 / x = 100

x = 100

Comments

dadurch geht aber eine lösung verloren...

x1= 100

x2= 1/100

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log10 x = u

Wenn du jetzt log100 x auch ersetzen möchtest musst du einen basiswechsel bei logarithmen machen

log100(x) = log10(x) / log10(100) = log10(x) / 2 = 1/2 log10(x)

Also kann man schreiben

log10(x) - log100(x) = 1 

log10(x) - 1/2 * log10(x) = 1 

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dadurch geht aber eine lösung verloren...

x1= 100
x2= 1/100 

Dann solltest du aber nochmal genau prüfen ob 1/100 auch wirklich eine Lösung ist ...