Wie viele Lösungen hat das LGS Ax=0 (Nullvektor)?

Question

ich habe eine Frage zu Linearen Gleichungssystemen. Im Moment nehmen wir gerade das Gaußverfahren durch. Eine Aufgabe dazu lautete:

a) Gegeben sei das LGS Ax=b (gegeben war die Matrix dazu), berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Verfahrens, wie viele Lösungen es für Ax=b gibt.

Das habe ich auch getan (hoffentlich richtig), aber nun kommt der zweite Aufgabenteil bei dem ich ein wenig verloren bin.

b) Bestimmen Sie alle Lösungen des LGS A x = 0 (Nullvektor). Sie können das Ergebnis der Vorwärtselimination aus a) weiter verwenden.

^Soll ich die Matrix as a) einfach gleich 0 setzen und nochmal das Gauß-Verfahren anwenden? Ich verstehe leider einfach die Aufgabenstellung nicht. Wenn dem so ist, wie soll ich die Lösung dann weiter verwenden. In meinem Skript steht dazu leider nichts weiter drin. Wäre total toll wenn mir jemand erklärt was mein Prof da von mir will und wie das geht.

Ich weiß, dass der Nullvektor der ist der mit einem Vektor b den gleichen Vektor b ergibt. Weiß aber nicht ob mir das hier hilft.

Schon mal danke im Voraus :)

Answer 1

Ja du sollst die Matrix gleich 0 setzten und nochmal den Gauss anwenden. Aber da du jetzt die gleichen Schritte durchführst wie bei a) kennst du schon immer die linke Seite. Du brauchst also nur noch die rechte Seite ausrechnen.

Comments

Ich versteh nicht was das bringen soll? Ich meine auf der rechten Seite stehen doch eh nur die Ergebnisse, und wenn die alle 0 sind ist doch das Ergebnis eins zu eins das Gleiche wie im LGS zuvor, nur dass auf der rechten Seite der Tabelle jetzt halt nullen stehen, oder spinn ich?!

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Nein. Das ist völlig richtig. Und daher ist dann auch die Lösung der Nullvektor. Allso für die Unbekannten einfach nur Nullen einsetzen.

Ax = 0 hat auch immer die Null-Lösung als Lösung.

Wenn es eine weitere Lösung gibt gibt es automatisch unendlich viele weitere Lösungen.

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Also beim ersten LGS hab ich halt raus das es unendlich viele Lösungen gibt. Soll ich das jetzt noch anders umschreiben? Ich sehe diese Aufgabe einfach als so sinnlos... sorry das ich so viel nachfrage :( Ich überdenke gerne Sachen die zu simpel erscheinen...

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Ok. Dann gibt es hier auch unendlich viele Lösungen. Du kannst dir eine Unbekannte frei wählen. Mach das doch mal.