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Sei x ∈ ℝ beliebig und n ∈ℕ≥1.

Wir definieren A (n) k := e i(k/n)x ,    k = 0, . . . , n,

 und

 Ln :=∑ n k=1 |A (n)k  − A (n) k−1 |.

Anschaulich ist Ln die Länge des Polygonzuges der Punkte A (n)

 Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R folgendes gilt:

(a) 2 − 2cos(x) = 4sin2 ( x/2 ).

(b) Ln = 2n|sin( x/2n )|.

(c) limn→∞ Ln = |x|. 


Hinweis zu (c): Verwenden Sie limx→0 sin(x)/x = 1.

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(a) 2 − 2cos(x) = 4sin2 ( x/2 ).

Versuche es mal mit der Doppelwinkelformel

cos(2t) = cos^2(t) - sin^2(t)    | trigonometrischer Pythagoras

cos(2t) = 1 - 2 sin^2 (t)       | nun Substitution x = 2t, d. h. t = x/2

cos(x) = 1 - 2 sin^2(x/2)   | * 2

2 cos(x) = 2 - 4 sin^2(x/2) 

4 sin^2(x/2) = 2 - 2 cos(x) 

Die andern Teilaufgaben überlasse ich mal jemand anderm. 

Avatar von 162 k 🚀
Genau die ,die ich mittlerweile hinbekommen haben =D

Schön. Dann hast du ja etwas gelernt.

Schreib das nächste Mal einen Kommentar, wenn du einen Teil nicht mehr brauchst. Da bleibt mehr Zeit für die Fragen, die dich noch interessieren.

Gib Bescheid, wie es inzwischen um b) und c) steht.

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