Zeigen Sie, dass die Ebene F die Fixpunkte der Projektion enthält...

Question

beachtet bitte die aufgabe 3 c... was soll ich da genau machen

Answer 1

Auch, wenn die Frage schon ein paar Jahre alt ist, beantworte ich sie mal.

Vorab sei nochmal gesagt, dass y = x₂ ist und ich nur der Einfach-heit her y nehme. der Vektor x ist dementsprechend (x₁ /x₂ /x₃ ) = (x / y / z)    (spaltenweise dargestellt, nicht zeilenweise).

y kann ja alles sein. Nachdem du A mit dem Vektor x multipliziert hast und es ein Fixpunkt ist hast du für y dann da stehen :

0*x + y + 0*z = y         für den Fixpunkt muss der Term = 0  ergeben, also nimmst du die Gleichung -y

daraus folgt 0x + 0y +0z = 0      deshalb kannst du jetzt überall das y bzw. x₂ ignorieren.

übrig bleibt die dritte Gleichung, also -4/5*x + (-2/5)*z = 0

jetzt z isolieren und auflösen.

am Ende kommst du dann auf 2x + z = 0   und hast somit bewiesen, dass dies die Fixpunkte enthält.

Answer 2

Ich nehme an, dass du bei a rausgefunden hast, dass die Abbildung eine Projektion ist.

Müsste F nicht der Eigenraum  der Matrix zum Eigenwert 1 sein?

Allerdings muss man den ja nicht ausrechnen. Es genügt, das Resultat zu prüfen.

F : 2x + z = 0

u= (0,1,0) und v = (1,0,-2) spannen F auf.

Kontrolliere ob,

M*u = u

und

M*v = v

gilt.

Aufgrund der Linearität der Abbildung folgt dann, dass F eine Fixpunktebene der Abbildung ist.

Comments

wieso wurde aus F plötzlich 2x+3z=0 ? Im Buch steht 2x+z

z=x₃

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Danke. Da hatte ich wohl einen Abschreibfehler (Sollte nun behoben sein (?))

und "Daumen hoch" für deinen Lösungsweg.