Lässt sich jede Primzahl größer 3 als 6n+1 oder 6n-1 darstellen?

Question

Beweisen oder widerlegen Sie:

Jede Primzahl p>3 lässt sich darstellen als 6n+1 oder als 6n-1 mit einer passenden von Null verschiedenen natürlichen Zahl n.

Answer 1

Ja. Jede Primzahl größer 3 lässt sich als 6n ± 1 darstellen.

Begründung

6n ist mit Sicherheit durch 6 Teilbar und nicht prim.

6n ± 2 ist mit Sicherheit durch 2 teilbar und daher auch nicht prim.

6n ± 3 ist mit Sicherheit durch 3 teilbar und daher auch nicht prim.

Comments

ist das ein mathematischer Beweis? Nach 6n+2 oder+3 wird ja nicht gefragt.

Wie kann ich daraus schließen, dass 6n+1 nicht durch irgendwas anderes teilbar ist?

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Wie kann ich daraus schließen, dass 6n+1 nicht durch irgendwas anderes teilbar ist?

Gar nicht, das wird aber auch nicht behauptet.

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Nimm mal 6*4 + 1 = 25.

Das lässt sich mit Sicherheit durch 5 teilen.

Also: Jede Primzahl größer 3 lässt sich schreiben als 6n ± 1 aber nicht jede Zahl  6n ± 1 ist prim :)

Erinnert dich vielleicht an den Satz: Jedes Quadrat ist ein Rechteck aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.

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Ok, aber ich brauche ja einen Beweis, dass jede Primzahl als 6n+1 oder 6n-1 dargestellt werden kann. Und wenn ich etwas über 6n+2 oder +3 sage, hat das doch nichts mit der Ausgangsfrage zu tun??

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Und wenn ich etwas über 6n, 6n±2 oder 6n±3 sage, hat das doch nichts mit der Ausgangsfrage zu tun??

Doch das hat es und du solltest jetzt mal nachdenken warum.

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Versteh ich nicht

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Wenn ich dir sage das jede Primzahl größer als 3 nicht gerade ist, dann weißt du das jede Primzahl großer als drei ungerade sein muss und daher zu finden ist unter den Werten 2n±1.

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Vielleicht bin ich verwirrt, weil mathematische Beweise bisher immer ziemlich ausführlich waren und nicht nur aus drei Sätzen bestanden.

Aber wenn du sagst, dass das reicht, nehm ich das mal so hin.

Danke

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Genau das solltest du nicht tun. Du solltest schon nachdenken warum das so ist und es vielleicht in deinen eigenen Sätzen formulieren die du besser verstehst.

Kleiner Tip.

Jede Zahl kann geschrieben werden als

6n oder 6n±1 oder 6n±2 oder 6n±3

Vielleicht solltest du dir das erstmal klar machen und versuchen zu verstehen.

Wenn man davon jetzt Zahlenmengen ausschließen kann in denen keine Primzahlen sein können müssen in den letzten Zahlenmengen alle Primzahlen zu finden sein.

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Also weil 6n + 2 durch 2 teilbar ist und 6n + 3 durch 3 teilbar ist muss 6n + 1 durch 1 teilbar sein???

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Weil 6n ± 2 durch 2 teilbar ist und 6n ± 3 durch 3 teilbar ist und 6n durch 2 und durch 3 teilbar ist, können diese Zahlen nicht prim sein. Damit müssen alle Primzahlen in 6n ± 1 liegen.

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Ach so, ja ok, klingt jetzt ganz einfach und logisch. Danke

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Weil (...) und 6n ± 3 durch 3 teilbar ist, können diese Zahlen nicht prim sein.

Das Minus muss dann aber weg!

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Kann es weg oder muss es weg ?

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Da 6*1-3 = 3 eine Primzahl ist, muss dieser Fall wohl irgendwie ausgeschlossen werden, da sonst die Argumentation nicht stimmt.

(Außerdem kann es nicht schaden, gelegentlich mal darauf hinzuweisen, dass nach Voraussetzung n von null verschieden ist.)

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Es ging ja um die Primzahlen größer als 3.

Ja. Jede Primzahl größer 3 lässt sich als 6n ± 1 darstellen.

6*1 - 3 = 3 ist keine Primzahl größer als drei. 

Ja das sollte dort der vollständigkeithalber stehen das gebe ich zu.

Answer 2

ja das stimmt.

kannst du hier nachlesen

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für den Link, aber wo ist da der Beweis?

Answer 3

der Grund ist, dass es nur 6 Restklassen modulo 6 gibt.

Eine Primzahl p kann modulo 6 nur ±1 sein, da ±2 (zwei Restklassen) und ±3 (eine Restklasse) und 0 (eine Restklasse) im Widerspruch dazu stehen würde, dass p eine Primzahl ist.

Da also von sechs Restklassen vier der Primalität von p widersprechen, bleiben nur die verbleibenden zwei Restklassen (nämlich ±1) als gültige Möglichkeit bestehen.

Mister

Answer 4

Die Umkehrung des Satzes gilt nicht:

Für n = 150 ist

6n+1 = 901 = 17 x 35

und

6n-1 = 899 = 29 x 31

also beides keine Primzahlen.

Comments

So weit brauchst du für ein Gegenbeispiel nicht zu gehen. Bereits 119=17*7 und 121=11*11 sind beides keine Primzahlen.