Konvergiert das Integral von 0 bis unendlich von x*arctan(1/x^2) dx?

Question

Hi, ich würde gerne wissen, ob das Integral von 0 bis unendlich von x*arctan(1/x^2) dx kovergiert und wie man darauf kommt.

Answer 1

Konvergiert das Integral von 0 bis unendlich von x*arctan(1/x²) dx ?

Comments

Vielen Könntest du mir den Schritt mit der partiellen Integration und der Partialbruchzerlegung bitte auch noch zeigen?Ich komme irgendwie nicht weiter

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Nur zur Kontrolle:

Bei der Partialbruchzerlegung hat man es mit komplexen Zahlen zu tun, oder?

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Du bekommst nach der part. Integration u. a das Integral:

∫ (1/(z (z^2+1)) dz

Ich würde Dir empfehlen , nicht auf komplexem Wege zu rechnen , man verrechnet sich schneller., aber möglich ist es.

Ansatz::(nicht komplexer Weg)

1/(z (z^2+1)) = A/z +(Bz+C)/(z^2+1)

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Verstehe, aber dann frage ich mich, wie man B und C herausbekommen soll. Die Grenzwertmethode kann man da nicht mehr anwenden, oder?

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eine Methode ist der Koeffizientenvergleich

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Könntest du mir den bitte an einem Beispiel zeigen?Weiß gerade nicht viel damit anzufangen :/

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Wäre es vielleicht auch möglich A, B, C über den Weg mit den komplexen Zahlen  (mit der Grenzwertmethode) zu berechnen und dann anschließen diese Werte in den Ansatz mit dem nicht komplexen Weg einzusetzen?

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hier der Weg mittels Koeffizientenvergleich:

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Sorry, hab noch eine kurze Frage:

Bei mir kommt komischerweise folgendes heraus:

(arctan(z))/(2z) - ((ln |z|)/2) + ((ln|z^2+1|)/4)

Wenn ich jetzt für z = (1/(x^2)) einsetze, habe ich das Ergebnis:

(arctan (1/(x^2)))/(2x^2)) - ((ln|1/x|)/(x^2)) + (ln|(1/x^2)+1|)/4) +C.

Was habe ich denn jetzt falsch gemacht?

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Ich habe nicht alles nachgerechnet, aber du hast wohl z = 1/x² einfach nur falsch eingesetzt:

arctan(1/x²) / (2/x²)  -  ln( |1/x²| ) / 2  +  ln( |1/x⁴ + 1| ) / 4  + c

wenn man diesen Term ableitet, erhält man  x * arctan(1/x²)

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Achso ok :) Reicht es dann zu sagen, dass das Integral von 0 bis unendlich von diesem Term divergiert, weil man nicht durch 0 teilen darf und es den Logarithmus von 0 nicht gibt? (Müsste man nämlich machen, wenn man die Integrationsgrenzen einsetzt)