Volumen einer dreiseitigen Pyramide berechnen mittels Vektoren

Question

Ich soll diese Aufgabe bearbeiten, aber ich hab echt keine Ahnung mehr. Selbst meine Nachhilfe weiß hier nicht mehr weiter. :(

Die Punkte \( A(-7|-5| 2), B(1|9| 6), C(5|-2|-1) \) und \( D(-2|0| 9) \) sind die Ecken einer dreiseitigen Pyramide. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

Comments

Ich hätte eine Frage.

Die Länge des Vektor vom Punkt D bis zum aufkommen auf die Ebene des Dreiecks.

Habe zuerst mit dem Kreuzprodukt den n Vektor berechnet. Dann daraus eine Koordinatengleichung für die Ebene des Dreiecks gebildet. Dort dann die Gerade von D bis zur Ebene eingesetzt. Dass Ergebnis in die Geradengleichung gesetzt und das folgende Ergebnisses, also den Durchstoßpunkt - D gerechnet und in der Wurzel quadriert um den Betrag zurechnen. Die Lösung sagt 5,41,

Warum ist das Ergebnis falsch?

Link: https://drive.google.com/file/d/1oEJ7beAEizn__UjQG-eGrlYLU2-Y1ZKb/view?usp=sharing

Danke vorab.

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Den Flächeninhalt des Dreiecks habe ich berechnet. Probleme habe ich bei der Höhe der Pyramide.
AC(12,3,-3)
AB (8,14,4)
AB Gleichung: x=(-7,-5,2)+s(8,14,4)

Koordinatengleichung der Ebene:

c = 8x+14y+4z=8

Kreuzprodukt mit AB, AC

(14,4,8,14) * (3,-3,12,3)

= (-42-12,48+24,24-168

= (-54,72,144)

Gleichung vom Punkt D zur Ebene: j = (-2,0,9)+s(-54,72,144)

Dann Gerade j in  Ebene c einsetzen

8(-2-54s)+14(72s)+4(9+144s)=8
s= -12/1872

Einsetzen von (s) in (j) und es kommt nicht die in der Lösung beschriebene Höhe von 5,41 raus.

Ich flehe um Hilfe. Habe es mehrmals durchgerechnet und

es war immer falsch. Hilfe bitte in der Methode Hilfsebene, zB. Hessische Normalenform habe ich nicht gelernt. .

Vielen Dank

Answer 1

AB = [8, 14, 4]

AC = [12, 3, -3]

AD = [5, 5, 7]

V = 1/6·([8, 14, 4] ⨯ [12, 3, -3])·[5, 5, 7] = -153

Das Volumen beträgt 153 VE.

Comments

kannst du das eventuell auch mit dem Kreuzprodukt aufschreiben? Also als Spat

Answer 2

Volumen eine Pyramide ist 1/3 · Grundfläche · Höhe.

Wähle drei Punkte aus. Diese drei Punkte sind die Ecken der Grundfläche.

Berechne die Länge einer Seite der Grundfläche und den Abstand des dritten Punktes zu dieser Seite. Setze in die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ein um die Grundfläche zu berechnen.

Berechne den Abstand des vierten Punkte zur Grundfläche. Das geht zum Beispiel mit der Hesseschen Normalenform.

Setze biede Angaben in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein.