Wie soll ich x^3<x nach x auflösen?

Question

Hallo

x ³ < x soll gelöst werden. 
Ich hätte es so gelöst:
x ³ -x < 0 
x ( x ² -1) < 0       x<0
und 
x²  < 1  
x < -1 

x< 1

Die Lösung ist aber: 

x < -1  oder 0<x<1 

Kann mir das einer erklären?Danke

Answer 1

Ich hätte es so gelöst:
x ³ -x < 0 
x ( x ² -1) < 0   

Bis dahin stimmt es. Aber

Das ist ja ein Produkt von 2 Faktoren. Und das ist negativ,

wenn entweder

der 1. negativ und der 2. positiv  oder

ungekehrt der 1. pos. und der 2. neg. ist

Also

(x<0  und  x^2 - 1 > 0 )     oder   (x>0  und  x^2 - 1 < 0 ) 
⇔ (x<0  und  x^2  > 1 )     oder   (x>0  und  x^2 < 1 ) 

⇔ x<-1                              oder          0 < x < 1   

Answer 2

Dividiere durch x.

Das darfst du nur dann machen, falls x≠0 ist. Also behandeln wir den Fall x=0 erst ein mal gesondert. Das geht durch Einsetzen: die Ungleichung

        0³ < 0

ist falsch, also gehört 0 nicht zur Lösungsmenge.

Da das jetzt geklärt ist, können wir durch x dividieren. Dabei müssen wir eine weitere Fallunterscheidung machen. Und zwar weil sich bei Division durch eine negative Zahl das Ungleichheitszeichen umkehrt:

        x ³/x < x/x falls x > 0 ist, und

        x ³/x > x/x falls x < 0 ist.

Löse diese beiden Ungleichungen einzeln.