Verständnisprobleme bei der Reihenberechnung

Question

Es geht um die geometrische Reihe:

a + ar +ar^2+...+ar^{n-1}+...=∑ar^{n-1}

Im Buch steht folgendes

Für |r| ≠ 1 können wir die Konvergenz oder Divergen der Reihe folgendermaßen bestimmen:

s_n=a + ar +ar^2+...+ar^{n-1}

rs_n=ar +ar^2+...+ar^{n-1}+ar^n           s_n mit r multilpiziert

s_n  - rs_n = a- r^n...Umformungen...s_n=a(1-r^n)/(1-r)

Die Umformungen sind nicht so wichtig. Mich interessiert, warum man s_n  - rs_n abziehen kann und so die Konvergenz berechnen? Die Reihe wird durch die Multiplikation mit r doch verändert...

Answer 1

s_n=a + ar +ar²+...+ar^n-1     #  

Das ist sozusagen die Ausgangsaussage, Def. der Reihe.
Wenn man diese Gleichung mit r multipliziert, ist die neue Gleichung
jedenfalls auch richtig, wie beim Gleichungsumformen.

rs_n=ar +ar²+...+ar^n-1+arⁿ        ##       ( s_n mit r multilpiziert)

Jetzt kannst du ja - wie beim Lösen von Gleichungssystemen
die beiden Gleichungen voneinander abziehen, dann entsteht:

s_n  - rs_n = a- rⁿ.

und nach den Umformungen...s_n=a(1-rⁿ)/(1-r).