Ganzrationale Funktionen - Nullstellen bestimmen (5. Grades)

Question

 

und zwar behandle ich momentan das Thema  "Ganzrationale Funktionen" in der Schule und habe von der Lehrerin mehrere Aufgaben zum Ü-ben erhalten. Eine davon ist eine komplexere Aufgabe, die ich vorher so ähnlich auch bearbeitet habe, nur dass sich diesmal das Lösungsverfahren ändert.

Gegeben ist f(x)= 2/25 x⁵-x³+25/8x     ,x∈ℝ

Eine  Teilaufgabe lautet: Bestimmen Sie die Nullstellen  

Ich bin so vorgegangen: hier habe ich als Lösungsverfahren die Faktorisierung genutzt, da dies hier auch die einzige zum Lösen ist bzw. momentan noch keine anderen zur Auswahl. 

Ausgeklammert würde dies dann so aussehen:    0= x (2/25x⁴ - x² + 25/8) 

und dann habe ich halt die Fallunterscheidung gemacht x₁= 0    und 

x₂:   0= 2/25x⁴ - x² + 25/8            

 0= 2/25x⁴ - x² + 25/8         I : 2/25

0 = x⁴-25/2 x² + 625/16     -----> und genau dieser Bruch verwirrt mich, aufgrund seiner hohen Zahlen und wenn                                                        ich dies dann später mit der pq-Formel lösen möchte erhalte ich dann zwei Nullstellen, von denen eins irgendwie nicht passt und dann beim späteren Zeichnen nicht hinkommt.. ich brauche bitte Hilfe, bin nämlich seit mehr als einer Stunde dran, um dies zu lösen und verzweifle langsam..! 

Vielleicht habe ich auch etwas falsch gemacht.. bitte um Antwort mit Rechnungsweg, wenn möglich. MfG Lucas 

                  

Comments

Hier noch der Graph

Ist dir mir der pq-Formel ein Fehler unterlaufen ?

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Moment muss das nur nochmal kurz nachschauen 

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Ja in der PQ formel auch

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Aber das mit der PQ-Formel vergessen wir erst einmal, mir geht es jetzt eher um das Lösungsverfahren zum Bestimmen der Nullstellen

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x⁴-25/2 x² + 625/16 = 0

Du mußt ersetzen

x^2 = z

z^2 - 25 / 2 * z + 625 / 16 = 0

Jetzt kannst du die pq-Formel anwenden oder die quadratische Ergänzung.

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Danke euch für die Antworten, aber gibt es auch noch ein anderes Verfahren @Lu, als mit der binomischen Formel) Denn ich bin nicht ganz soo vertraut damit,  wenn es um große Terme geht 

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Ich weiß, wie die Substitution funktioniert mit dem Ersetzen der Variablen (z= x^2)

Aber @Lu hat das schon richtig gemacht und das klappt dann auch mit dem Graphen, der hier in den Kommentaren gepostet wurde, aber wenn man dies so macht, wie du @georborn das gemacht hast, kommen da andere Nullstellen raus, was ich ja vorher auch bekommen habe, dies ist aber falsch. MÖchte jetzt also nur wissen, ob es noch einen anderen Weg gibt, ausser den mit der binomischen Formel. ?

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Die Substitution von x^2 = z ergibt eine Funktion 2.Grades
welche mit der quadratischen Ergänzung oder der pq-Formel
gelöst werden kann.
Dann wieder zurückersetzen.

Du hast bestimmt die pq-Formel auf x^4 angewendet und dadurch
einen Fehler gemacht.

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Bei meiner Gleichung

z² - 25 / 2 * z + 625 / 16 = 0

kommt z = 25 / 4 heraus.

Da z = x^2 ist erhalte ich
x^2 = 25 / 4

x = 5/2
und
x = -5/2

also dasselbe Ergebnis wie Lu.

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Ah oke, könntest du aber genau schreiben wie der rechenweg ist auch wenn es lästig ist bitte :) ?

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Du sollst nicht unwissend sterben.

z^2 + p * z + q = 0
z² - 25 / 2 * z + 625 / 16 = 0

z_1,2 = - p/2  ± √  (  (p/2)^2 - q )

p = -25 / 2
q = -625 / 16

p / 2 = -25 / 4
z_1,2 = - ( -25 / 4 ) ± √ ( ( 25/4)^2 - 625 / 16 )

z_1,2 = - ( -25 / 4 ) ± √ ( 625 / 16 - 625 / 16 )
z_1,2 = - ( -25 / 4 ) ± √ ( 625 / 16 - 625 / 16 )
z_1,2 = - ( -25 / 4 )
z_1,2 = 25 / 4

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Mein Fehler lag die ganze Zeit bei dem 25/4! haha :D tut mir leid für die umstände, war aber sehr hilfreich von euch!

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Schön das dir geholfen werden konnte.
Falls du andere / weitere Fragen hast dann wieder einstellen.

Answer 1

0 = x⁴-25/2 x² + 625/16   Erinnere dich an die binomischen Formeln!

0 = (x^2)^2  - 2* 25/4 x^2 + (25/4)^2 

0 = ( x^2 - 25/4 )^2 

x^2 = 25/4

x2 = 5/2

x3 = -5/2 

Beides sind wegen ^2 doppelte Nullstellen deines Polynoms. 

Comments

Noch eine Frage: 

Eine weitere Teilaufgabe, bei der ich nicht weiter komme, ist die Ausrechnung der Schnittpunkte mit einem anderen Graphen.

Ganzrationale Funktion lautet: F(x)=2/25x^5 - x^3 + 25/8 

Und die andere: g(x)= -x^3 +2x 

Gleichgestellt: 

2/25x^5 - x^3 + 25/8 =     -x^3 +2x

Umgestellt: 

2/25x^5 - 2x  + 25/8 =  0

(dann durch den Faktor vor dem ersten Summanden teilen)

Nun weiß ich aber nicht welches Lösungsverfahren.. Würde irgendwie mit der Polynomdivision weitermachen, aber bin mir da irgendwie unsicher

Bei den anderen Lösungsverfahren bin ich mir sicher, dass die nicht dran kommen 

bitte um Hilfe danke 

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Naja, du kannst kein x ausklammern und biquadratische Substitution geht auch nicht, deswegen fällt mir auch auf Anhieb nur die Polynom Division ein. Allerdings kommt da nur Murks bei raus. Also näherungsverfahren oder Fehler in der Aufgabenstellung. 

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Die Aufgabe davor war, die Nullstellen zu berechnen,  was ich auch richtig gehabt hatte (war ja der Hauptsächliche Grund für die Diskussion hier) und als 2. Teilaufgabe kam dann: Zeigen sie dass der Graph von F und der Graph von g (x)= -x^3+2x nur einen gemeinsamen Punkt haben

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Hi,

bestimme die Ableitung der Differenzenfunktion.

h'(x) = 2/5*(x^4-5)

Das Nullsetzen um Extrema zu finden:

x_(1,2) = ±⁴√5

Mit der zweiten Ableitung erkennst Du, dass für x_(1) = -⁴√5 ein Maximum vorliegt und für x_(2) = ⁴√5 ein Minimum.

Das x_(2) nun in h(x) einsetzen und wir erhalten einen y-Wert > 0. Sprich die x-Achse wird nur einmal geschnitten (wir haben für x -> -∞ ein Verhalten gegen -∞), denn das Minimum liegt überhalb der x-Achse.

Auf Wunsch kann man die Nullstelle noch bestimmen (was wohl  nicht nötig ist?) -> Mit Newtonverfahren ergibt sich x ≈ -2,522. Den Schnittpunkt bestimmt man durch einsetzen in einer der beiden Funktionen.

Grüße

Nachtrag: Mit nem vergessenen x ists natürlich einfacher. Siehe Folgebeitrag :P.

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Moment, da steht doch 25/8 x. Du hast beim abschreiben das x unterschlagen. Mir dem x kann man dann ein x ausklammern.

2/25 x^5 +9/8 x = 0

x^5 + 225/16 x = 0

x (x^4+225/16) = 0

Satz vom nullProdukt ergibt als einzige Lösung x=0.

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Aber ausklammern kann man ja nur wenn alle Summanden die ein und die selbe Variable besitzen,  was aber hier bei 25/8 nicht der Fall ist

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Oh mann ich habe mich verschrieben... Deshalb komme ich nicht weiter.. ^^ danke

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Für den Fall, dass das mit x korrekt gewesen wäre (also, dass der letzte Summand ohne x dasteht), siehe die Vorgehensweise bei mir :P.

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Haha danke für deine Hilfe, aber ich kenne viele dieser Verfahren nicht :P dennoch danke 

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Da ist nix dabei, was Du nicht kennst? Habe nur die Extrema bestimmt (mittels Ableitung) und gezeigt, dass das lokale Minimum oberhalb der x-Achse liegt. Und deshalb nur eine Nullstelle vorliegt (haben ja eine ungerade Funktion) ^^.

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Schon oke :)

Aber eine Andere Frage: Eine weitere Teilaufgabe lautet:  Strecke Funktion g(x)= -x^3+2x um den Faktor -1,5 und gebe sie das zugehörige Polynom an 

Verstehe das nicht.. 

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Ich vermute mal koffi ist im Bett und verzeiht mir weitere Einmischung? :)

Ist da noch weiteres gegeben? In welche Richtung soll die Streckung denn gehen? x oder y?

Streckung y-Richtung: a*f(x)

Streckung x-Richtung: f(a'x)

;)

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Könntest du das mal bitte anhand eines Beispiels genauer erklären, aber an einer Funktion 3. Grades oder höher und nicht quadratisch bitte?

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@Unknown und Koffi: Danke für die vielen Beiträge.

@Matheneuling:

Könnt ihr das vielleicht in einer neuen Frage diskutieren, wo du erst mal genau angibst, wie denn nun gestreckt werden soll? und: Das geht bei quadratischen Funktionen genau gleich wie bei solchen von "höherem" Grad. 

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Oke mach ich