Umkehrfunktion berechnen von f(x)=(x-2)^2 + 1

Question

Hi,

ich soll die Umkehrfunktion von f(x)=(x-2)^2 + 1

mein ansatz:

y=(x-2)^2 + 1 | √

√y=x-2+1

√y+1=x

jezt tauschen:

√x+1=y

die richtige lösung lautet allerdings: y=2-√(x-1)

Answer 1

f(x)=(x-2)² + 1 = y

Ich tausche immer schon zu Anfang

( y - 2 )^2 + 1 = x
( y - 2 )^2 = x -1
y - 2 = ±√ ( x -1 )
y =  ±√ ( x -1 ) + 2

Eine Funktion muß immer eindeutig sein. Hier haben wir ein ± vorliegen.

Es gibt also 2 Umkehrfunktionen
y =   + √ ( x -1 ) + 2
und
y =   - √ ( x -1 ) + 2

~plot~ ( x -2 )^2 + 1 ; sqrt(x-1) + 2 ; - sqrt(x-1) + 2 ~plot~

Comments

Mathematisch korrekt

Die Funktion
f(x)=(x-2)² + 1 = y

hat im Def-Bereich -∞.. 2 die Umkehrtfunktion y =   - √ ( x -1 ) + 2
und im
Def-Bereich 2 .. ∞.. die Umkehrtfunktion y =   + √ ( x -1 ) + 2

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danke dir, wusste nich das ich erst wurzeln darf wenn die wurzel alleine steht :)

Answer 2

f(x)=(x-2)² + 1

Als erstes musst du dir überlegen, dass es hier 2 Parabeläste gibt, und du keine "globale" Umkehrfunktion angeben kannst. 

1. Fall x≥ 2

y =(x-2)² + 1   | Wurzel erst ziehen, wenn das Quadrat allein auf einer Seite der Gleichung ist! 

y - 1 = (x-2 )^2  | √

√(y-1) = x-2    

2 + √(y-1) = x

nun noch x und y vertauschen:

y = 2 + √(x-1) 

2. Fall x≤  2  (anderer Ast der Parabel und seine Umkehrfunktion) 

y =(x-2)² + 1   | Wurzel erst ziehen, wenn das Quadrat allein auf einer Seite der Gleichung ist! 

y - 1 = (x-2 )^2  | √

√(y-1) = -( x-2)    

√(y-1) = 2-x

x = 2- √(y-1)

nun noch x und y vertauschen:

y = 2 - √(x-1) 

Comments

danke dir, wusste nich das ich erst wurzeln darf wenn die wurzel alleine steht :)