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Konvergiert folgende Reihe? Berechnen Sie den Summenwert.

Die Konvergenz konnte ich mit Hilfe des Quotientenkriteriums nachweisen. Komme aber einfach nicht drauf wie ich den Summenwert berechnen kann.

Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)

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Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)

= 1/2  +   Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !       * n/(n+1)      )

= 1/2  + Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !       * ( 1 + n  -   1  )/(n+1)      )

= 1/2  + Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !       * ( ( 1 + n)/(n+1)    -   1  /(n+1) )     )

= 1/2  + Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !       * ( 1    -   1  /(n+1) )     )

= 1/2  +Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !         -   1  /(n+1)  *    (   1 / ( n-1) !     )

= 1/2  +Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !         -    n/((n+1)!)

= 1/2  + Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !         -  Σ (1 bis ∞)    n/((n+1)!)

Der Subtrahend ist wieder die Ausgangsreihe, also

2* Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)   =    1/2  + Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !    

2* Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)   =    1/2  + Σ (1 bis ∞)    (   1 / n !    )

Und die Reihe rechts ist die e-Reihe

2* Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)   =    1/2  +e

Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)   =    1/4  +e/2

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Genial! Bist du ohne Nachschlagen darauf gekommen?

Genial!

Wenn man von den ganzen Fehlern absieht.

Ist was verrechnet ?   Gib doch mal nen Tipp!

1. Fehler :  Faktor n im Zähler der 2. Zeile (dieser Fehler killt den Ansatz)

2. Fehler :  Summationsindex in der 8. Zeile

3. Fehler :  Behauptung über e-Reihe

Also doch nicht genial. Schade - sah so gut aus.

Danke, war ich wohl etwas flott!

Also doch nicht genial. Schade - sah so gut aus.


Für dich sieht wahrscheinlich gut aus  :

e^x/x = ∑ (n=0 bis ∞) xn-1 / n!  =  ∑ (n=2 bis ∞) xn-1 / n! + x-1/0! + x^0/1!  = 

   =   ∑ (n=1 bis ∞) xn / (n+1)! + 1/x + 1   |   d/dx

e^x·(x-1) / x^2   =   ∑ (n=1 bis ∞) n·xn-1 / (n+1)! - 1/x^2   |  x = 1 setzen

0 = ∑ (n=1 bis ∞) n / (n+1)! - 1


Genial ist hingegen aber zu sehen, dass für die Partialsummen

∑ (n=1 bis m) n / (n+1)!   =   1  - 1/(m+1)!

gilt.

Aha, geht doch !

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