Einem Kreis ist ein gleichseitiges Dreieck umbeschrieben. Berechnen Sie den Kreisradius. (Trigonometrie)

Question

Aufgabe:

Einem Kreis ist ein gleichseitiges Dreieck umbeschrieben.

a) Berechnen Sie den Kreisradius \( r \). Hinweis: Die Seitenhalbierenden eines gleichseitigen Dreiecks teilen sich im Verhältnis 1: 2.

b) Welchen Flacheninhalt hat das schraffierte Flächenstück?

Lösung:

a) \( r=\frac{s \sqrt{3}}{6} \),

b) \( A_{\text {schraffiert}}=\frac{s^{2}(3 \sqrt{3}-\pi)}{36}=0.057 s^{2} \)

Comments

Da sollte sich eigentlich mit Pythagoras allein lösen lassen.

Benutze

h^2 + (s/2)^2 = s^2 

und s/2 = r, da auch in den kleinen Dreiecken überall ein 60° - Winkel vorkommt. Sie sind alle habe gleichseitige Dreiecke. 

Answer 1

Dreieck ADC hat Hypotenuse s und die

Katheten s/2 und CD=x

(Das x ist sowohl Höhe, als auch Seitenhalbierende

des gleichseitigen Dreiecks.

s^2 = s^2 / 4 + x^2

3s^2 / 4 = x

s/2 * √3 = x

Und der Radius ist ( siehe Tipp) 1/3 von x ,

also r = s/6 * √3

Das schraffierte Stück ist 1/3 von

Dreiecksfläche - Kreisfläche

=( s^2  * √3/ 4    -   ( s/6 * √3 )^2 * pi     )   : 3

= ( s^2  * √3/ 4    -   ( s^2 /36 * 3 )    )   : 3

= ( s^2  * √3/ 12     -   ( s^2 /36 ) )

=s^2 * (   √3/ 12     -   1 /36 )

=s^2 * (   3√3/ 36     -   1 /36 )

=s^2 * (   3√3     -   1 )   /   36