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Hallo.

Ich habe folgende Aufgabe:

f(x) = 1 für -0,5 <= x <= 0,5    sonst 0

g(x) = 1-|x| für  -1<= x <= 1     sonst 0


Nun soll ich zeigen, dass die Faltung von f mit sich selbst g(x) ergibt, also:

[f*f](x)=g(x)


Habe da leider keinen wirklichen Ansatz

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Dazu musst du ja schauen, ob  ∫ (über ganz IR) f(t) * f(x-t)  dt das gleiche gibt, wie g(x).

Das kannst du für alle möglichen Fälle testen:

1. Fall  x< - 1

      Es ist ja f(x-t) fast immer = 0 nur

       f(x-t) = 1  falls    | x-t | > 0,5  also  x-0,5 < t  < x+0,5 

                                    wegen x<1 also   -1,5 < t < - 0,5  

        in diesem Bereich ist aber   f(t) = 0 wegen     t < -0,5   

also ist einer der beiden Faktoren des Integranden immer = 0,

und damit der ganze Integrand und also auch das Integral = 0.

Also ist für x < -1 jedenfalls  ∫ (über ganz IR) f(t) * f(x-t)  dt= 0

und auch g(x) in diesem Fall = 0. Damit ist die Behauptung für x<-1

gezeigt.

2. Fall  x zwischen -1 und 0 ( jeweils einschließlich), also -1 ≤ x ≤ 0.

Auch hier muss man wieder schauen, wann der Integrand nicht 0 ist,

denn fast überall ist er ja = 0. Also schauen, wann er = 1 ist:

       f(x-t) = 1  falls   | x-t | > 0,5 also    x-0,5 < t  < x+0,5                                                               

und  f(t) = 1 falls  -0,5 <= t <= 0,5  

also sind beide Faktoren = 1 von  -0,5  bis  x + 0,5

Also ist in diesem Fall

∫ (über ganz IR) f(t) * f(x-t)  dt =  ∫ (von -0.5 bis x+0,5 )   1  dt

= [  t  ]  in den Grenzen von -0,5 bis x+0,5 

=  x + 0,5 - ( -0,5 )  = 1  +  x 

Und wegen ( im Fall 2 )   x ≤ 0 ist  | x | =  - x

also ist wirklich   1  +   x  =   1 -  ( - x ) =  1 - | x |  =  g ( x) .

So kannst du das für die anderen Bereiche auch zeigen.

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