Parameter bestimmen damit die Funktion an der Stelle x ein lokales Maximum hat

Question

bei der folgende Aufgabe habe ich ein Problem bzw. fehlt mir der Ansatz

$$f(x)=\frac { \sqrt [ 3 ]{ x^3 - 7 } }{ x^2+ax+4 }$$

Die Funktion muss an der Stelle x=2 ein lokales maximum haben, welchen wert muss a haben?

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Comments

Hast du es schon mit a = -4 probiert?

Da hätte f(x) bei x = 2 im Nenner eine doppelte Nullstelle.

D.h. es läge ein Pol ohne Vorzeichenwechsel vor.

Ich weiss jetzt allerdings nicht genau, ob Pole ohne Vorzeichenwechsel auch als lokale Maxima betrachtet werden können. Wie habt ihr das definiert? Wie lautet die Fragestellung denn genauer?

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Die Frage lautet:

Welchen Wert muss der Parameter a∈ℝ haben, damit die Funktion f mit an der Stelle x=2 ein lokales Maximum hat.

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Dann geht das entweder nicht (wenn mathef richt gerechnet hat), oder das "lokale Maximum unendlich" ist bei eurer Definition von "lokalem Maximum" erlaubt.

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Ich hab mal mit Wolfram geprüft:

http://m.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28x%5E3-7%29%5E%281%2F3%29%2F%28x%5E2%2Bax%2B4%29+for+x%3D2&x=0&y=0

Die Ableitung wird scheinbar nicht null.

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Schön, dass das gleich allgemein so einfach rauskommt.

Muss die Ableitung denn bei einem lokalen Maximum existieren?

z.B. y = - | x| + 4  hat doch ein lokales Maximum.

Für a = -4 existiert die Ableitung natürlich auch nicht an der Stelle x=2. Dort ist aber nicht mal ein Funktionswert definiert.

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Letzteres ist in meiner Antwort auch berücksichtigt.

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~plot~ (x^3-7)^{1/3} / (x^2-3,9999*x+4);[[1,5|2,5|0|5100]] ~plot~

Wenn man's nicht allzu genau nimmt, geht es doch! :-)

Answer 1

Es muss ja dann f ' (2) = 0 sein.

Bei f ' (2) komme ich auf    ( 28 - 7a ) / ( 8+2a) ^2

also a=4.  Dann noch prüfen, ob min oder max =?

Comments

wenn mein Rechner nicht spinnt, hast du dich bei der Ableitung vertan

Answer 2

mein Rechner sagt:

f_a(x) = (x^3 - 7)^{1/3} / (x^2 + a·x + 4)

D_fa = [ ³√7; ∞ [   für  a ≠ -4 ,   D_fa = [ ³√7; ∞ [ \ {2}    für  a = -4  (Pollstelle bei x=2)

f_a'(x) = - (x^4 - 4·x^2 - 14·x - 7·a) / ((x^2 + a·x + 4)^2·(x^3 - 7)^{2/3})

D^'_fa =  ] ³√7; ∞ [   für  a ≠ -4 ,   ] ³√7; ∞ [ \ {2}  für  a = -4

f_a'(2) = 7 / (4·(a + 4))

→   für kein a∈ℝ  hat die Funktion f_a^'  für x=2 eine Nullstelle und damit auch kein lokales Maximum

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,
nur zur Bestätigung : deine Antwort ist richtig.
mfg Georg

Eine Kleinigkeit : es wurde nach dem lokalen Maximum gefragt.

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Stimmt, danke. Ich ändere es ab.