Taylorpolynom, mehrdimensional

Question 1

Ich soll das Taylorpolynom bis n=3 für f(x,y) = x^y bestimmen in a=(1,1)

Also alle partiellen Ableitungen bilden und in die Formel einsetzen, klar. Aber so gut wie alle Beispiele haben eine ausgeschriebene Formel für n=2 und bei 3 wird die Formel allgemein hingeschrieben.

Wir haben letztes Semester das Taylorpolynom für eindimensionale Funktionen gehabt und das war "einfach". Jetzt verwirrt mich das mehrdimensionale und ich weiß nicht genau, welche Ableitungen ich alle bilden muss und wie die eingesetzt werden müssen. Muss ich dann für meinem Entwicklungspunkt a (eindimensional (x-a)^k) immer (x-a)^k(x-y)^k schreiben, oder wie ?

Question 2

Hi,

yup so ist es. Du musst den Entwicklungspunkt immer mitnehmen. Einfach in die allgemeine Formel das k = 3 einsetzen und Matrizenmultiplikation.

Wenn Du Dir den Aufwand mit der Multiplikation sparen willst:

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!204:Das_mehrdimensionale_Taylorpolynom

Da wurde das schon erledigt. Nur noch die Ableitungen bilden und einsetzen ;).

Grüße

Question 3

oder dort:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5Ey+taylor+at(1;1)

Question 4

Habe als Ergebnis: 1+(x-1)+( (x-1)(y-1)(1+ 1/2 (x-1)) ) raus.

Sieht irgendwie nicht nach dem Ergebnis von Wolfram Alpha aus :/

Question 5

Willst DU mal zeigen, was Du machst? Ist eigentlich nur Ableiten und in Formel einsetzen? :)

Question 6

Hi, Du musst folgendes ausrechnen

$$ f(x,y) = f(1,1) + f_x(1,1)(x-1) + f_y(1,1)(y-1) + \frac{1}{2} \left[ f_{xx}(1,1)(x-1)^2 + 2f_{xy}(1,1)(x-1)(y-1) + f_{yy}(1,1)(y-1)^2 \right] + \frac{1}{6} \left[ f_{xxx}(1,1)(x-1)^3 + 3f_{xxy}(1,1)(x-1)^2(y-1) + 3f_{yyx}(1,1)(x-1)(y-1)^2 + f_{yyy}(1,1)(y-1)^3 \right] $$

Jetzt gilt

$ f(1,1) = 1 $, $ f_x(1,1) = 1 $, $ f_y(1,1) = 0 $, $ f_{xx}(1,1) = 0 $, $ f_{xy}(1,1) = 1 $, $ f_{yy}(1,1) = 0 $

$f_{xxx}(1,1) = 0 $, $ f_{xxy}(1,1) = 1 $, $ f_{yyx}(1,1) = 0 $, $ f_{yyy}(1,1) = 0 $

Damit folgt

$$ f(x) = 1 + (x-1) + (x-1)(y-1) + \frac{1}{2}(x-1)^2(y-1) = x + (x-1)(y-1) + \frac{1}{2}(x-1)^2(y-1) $$

Dein Ergebnis stimmt also. Bei Wolfram war die Eingabe falsch.

Question 7

Ach klasse, danke!

Ich hatte mich schon gewundert. Wolfram macht das nur in einem Punkt, nämlich x=1 statt (x,y)=(1,1)und deswegen ist da so ein langes Ergebnis oder?

Question 8

Genau. Den richtigen Befehl habe ich allerdings auch noch nicht gefunden.

ullim · Answer 1 · 2016-07-04T12:32:53+0000

Hi, Du musst folgendes ausrechnen

$$ f(x,y) = f(1,1) + f_x(1,1)(x-1) + f_y(1,1)(y-1) + \frac{1}{2} \left[ f_{xx}(1,1)(x-1)^2 + 2f_{xy}(1,1)(x-1)(y-1) + f_{yy}(1,1)(y-1)^2 \right] + \frac{1}{6} \left[ f_{xxx}(1,1)(x-1)^3 + 3f_{xxy}(1,1)(x-1)^2(y-1) + 3f_{yyx}(1,1)(x-1)(y-1)^2 + f_{yyy}(1,1)(y-1)^3 \right] $$

Jetzt gilt

$ f(1,1) = 1 $, $ f_x(1,1) = 1 $, $ f_y(1,1) = 0 $, $ f_{xx}(1,1) = 0 $, $ f_{xy}(1,1) = 1 $, $ f_{yy}(1,1) = 0 $

$f_{xxx}(1,1) = 0 $, $ f_{xxy}(1,1) = 1 $, $ f_{yyx}(1,1) = 0 $, $ f_{yyy}(1,1) = 0 $

Damit folgt

$$ f(x) = 1 + (x-1) + (x-1)(y-1) + \frac{1}{2}(x-1)^2(y-1) = x + (x-1)(y-1) + \frac{1}{2}(x-1)^2(y-1) $$

Dein Ergebnis stimmt also. Bei Wolfram war die Eingabe falsch.

Ach klasse, danke!
Ich hatte mich schon gewundert. Wolfram macht das nur in einem Punkt, nämlich x=1 statt (x,y)=(1,1)und deswegen ist da so ein langes Ergebnis oder? — MatheStudentin, 4 Jul 2016
Genau. Den richtigen Befehl habe ich allerdings auch noch nicht gefunden. — ullim, 4 Jul 2016

Taylorpolynom, mehrdimensional

1 Antwort

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