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sum_(n=3)^m 1/(n (n-2)) = (3 m^2-7 m+2)/(4 (m-1) m)

diese Lösung spuckt Wolfram aus, aber wie kommt man darauf?

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mache eine Partialbruchzerlegung des Summanden:

1/(n*(n-2)=1/(2*(n-2)-1/(2n)

Jetzt hast du eine Teleskopsumme dastehen:

sum n=3 bis m 1/(2*(n-2)-1/(2n)= -1/(2m)-1/(2(m-1))+1/2+1/4

= -1/(2m)-1/(2(m-1))+3/4

1/2+1/4 sind die beiden Terme des ersten Summanden, die anderen beiden Terme kommen vom 2ten Summanden.

Das Endergebnis kann man nun mithilfe des Hauptnenners in die von Wolfram ausgegebene Form bringen.

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Es  ist   1 / ( n*(n-2)) 

=   0,5 / ( n-2 )  -     0,5 / n  

also ist die Summe eine Teleskopsumme

∑ n=3 bis m über 1 / ( n*(n-2)) 

=  ∑ n=3 bis m über  ( 0,5 / ( n-2 )  -     0,5 / n   )

= ∑ n=3 bis m über   0,5 / ( n-2 )    -     ∑ n=3 bis m über       0,5 / n  

= ( 0,5 / 1   +  0,5/ 2  + 0,5 / 3 + ..... +  0,5 / (m-2)  )

- (    0,5/3  + 0,5 / 4  + ......  + 0,5 / (m-2) + 0,5 / (m-1 ) + 0,5 / m

Bis auf die ersten zwei Summanden der ersten und die

letzten zwei  der 2. Summe heben sich alle auf, also

= 0,5 / 1   +  0,5/ 2  - 0,5 / (m-1 ) -  0,5 / m

alles mit 2 erweitern

= 1/2  +  1/4  - 1/((2(m-1) )   -  1/ (2m)

Hauptnenner ist  4m(m-1) also

=(    2m(m-1) +  m*(m-1)   - 2m    - 2(m+1)   )  /   (  4m(m-1) )

= ( 3m^2 - 7m + 2 )  /    (  4m(m-1) )

q.e.d.

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