Grenzwert von sin(sin(x)/x

Question

Ich soll Grenzwert für x->0 von sin(sin(x))/x bestimmen.

Kann ich, wenn ich bewiesen habe, dass sin(sin(x))/sin(x) für x->0 gegen 1 geht, daraus schließen, dass auch sin(sin(x))/x für x->0 gegen 1 geht? 

Grüße

Comments

Ich bin da immer unsicher. An sich kann man sin(x) für x --> 0 ja auch annähern durch x.

Also ich würde denken

lim (x→0) sin(sin(x)) / x 

lim (x→0) sin(x) / x 

lim (x→0) x / x = 1

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Ich bin da immer unsicher

Erweitere mit sin(x), benutze die Stetigkeit der Sinusfunktion und Grenzwertsätze.

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Ich habe das unten mal nach deiner Idee gemacht. 

Wenn du magst würde ich mich freuen wenn du mal drüber schaust. Allerdings weiß ich auch nicht ob ich die Ableitung so benutzen darf. Generell weiß ich immer bei Beweisen nicht was ich benutzen darf und was nicht :(

Answer 1

Dürft ihr L'Hospital benutzen?

lim (x→0) sin(sin(x)) / x

lim (x→0) cos(sin(x)) * cos(x) / 1

lim (x→0) cos(sin(x)) * cos(x) = cos(sin(0)) * cos(0) = 1

Comments

Zum Zeitpunkt, zu dem die Aufgabe gestellt wurde nicht. In der Klausur schon.

Stimmt, da bin ich gar nicht drauf gekommen, dass es sich dabei um einen unbestimmten Ausdruck handelt.

Danke.

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Ohne L'Hospital nach der Idee von hj2122

wir wissen 

f(x) = sin x
f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x)) / h = lim (h→0) (sin(x+h) - sin(x)) / h = cos(x)
f'(0) = lim (h→0) (sin(0+h) - sin(0)) / h = cos(0)
f'(0) = lim (h→0) sin(h) / h = 1

Das merken wir uns 

lim (x→0) sin(sin(x)) / x 
lim (x→0) sin(sin(x)) * sin(x) / (x * sin(x))
lim (x→0) sin(x) / x * sin(sin(x)) / sin(x)
lim (x→0) 1 * sin(sin(x)) / sin(x)
subst t = sin(x)
lim (t→0) 1 * sin(t) / t = 1 * 1 = 1

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Meine Idee war eigentlich :

sin ( sin(x) ) / x  =  [ sin ( sin(x) ) / sin(x) ] · [ sin(x) / x ]

Für den zweiten Faktor ist der Grenzwert 1 für x → 0 bekannt.
Für den ersten Faktor substituiere man z = sin(x)  und wegen der Stetigkeit der sin-Funktion geht mit x → 0 auch z → 0 so dass derselbe Grenzwert 1 von sin(z) / z für x → 0 resultiert.
Nach Grenzwertsatz über den Grenzwert eines Produktes ist der gesuchte Grenzwert also  1·1 = 1 .

Bei genauerem Hinsehen sehe ich gerade, dass du ja genau das geschrieben hast, mein Kommentar also überflüssig ist.

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Genau das steht doch aber unter "Das merken wir uns..."

Oh. Hast du bereits selbst gesehen.

Ok. Also kann man das so stehen lassen.

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Also wenn ich weiß, das sin(sin(x)/x = [ sin ( sin(x) ) / sin(x) ] · [ sin(x) / x ] und ich mittels "Sandwich-Kriterium" sowohl  [ sin ( sin(x) ) / sin(x) ]  -> 1, als auch [ sin(x) / x ] -> 1 beweisen kann, dann reicht es beide Grenzwerte zu multiplizieren( nach Grenzwertsatz) um zu zeigen das sin(sin(x)/x ->1 ?

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Genau dazu sind die Grenzwertsätze da :)