Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion; Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbreich von f und f'

Question

Die Aufgabenstellung steht im Titel.

Hier mal mein Ansatz für die Ableitung dieser Funktion.

Komme aber leider nicht weiter, wäre daher super, wenn mir das kompakteste Ergebnis + Lösungsweg zeigen könnte.

Answer 1

weiter umformen gibt

$$ \frac { cos(x)*\sqrt { 1+cos(x) }+\frac { sin(x)^2 }{ 2\sqrt { 1+cos(x) } } }{ 1+cos(x) } $$
$$ =\frac { 2cos(x)*( 1+cos(x))+sin(x)^2  }{ 2(1+cos(x))^{1,5} } $$
$$ =\frac {2cos(x)+2cos(x)^2+sin(x)^2  }{ 2(1+cos(x))^{1,5} } $$
$$ =\frac {2cos(x)+cos(x)^2+1 }{ 2(1+cos(x))^{1,5} } $$

Comments

Definitionsbereich f:    Es darf keine 0

im Nenner sein, und nichts negatives in der Wurzel,

also muss 1 + cos(x) > 0 gelten

cos(x) > -1

Das stimmt ja fast immer, nur nicht bei

x = (k+1)*pi  mit k aus Z.

Bei f' ebenso.

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Danke, das hilft schon mal weiter.

Habe das ganze mal über wolframalpha ableiten lassen und folgendes Endergebnis erhalten:

Da wurde also noch 2 im Zähler ausgeklammert und dann gekürzt.

Aber wie komme ich dann auf diesen Ausdruck im Zähler?

Mein Zwischenschritt (Zähler):   2*(cosx + 1/2 + 1/2 * cos^2(x))

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bekannte(?) Formel ( aus Additionstheorem herzuleiten)

cos(x/2) = √ ( 1+cos(x) ) / 2 )

also cos(x/2) ^4 = ( 1+cos(x) ) / 2 )^2 =  ( 1 + 2cos(x) + cos(x)^2 ) / 4

= 1/4 + (1/2)cos(x) + (1/4)cos(x)^2

Und mit dem Faktor 2 davor passt es dann.