Vollständige Induktion: Summenformel für Teleskopsumme

Question

 

Da bin ich dann hängengebliben...

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Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion über n. Behauptung: Σ (von k=1 bis n) 1/(k*(k+1)) = 1-(1/(n+1))

Stichworte: induktion,vollständige,summe,teleskopsumme

ich hänge bei folgender Induktionsaufgabe fest:

Es soll bewiesen werden: Σ (von k=1 bis n) 1/(k*(k+1)) = 1-(1/(n+1))

Induktionsanfang für n=1 passt.

Nun zum I.schritt: Σ (von k=1 bis n+1) 1/(k*(k+1)) = Σ (von k=1 bis n) 1/(k*(k+1)) + 1/((n+1)*(n+2))

und mit Induktionsvoraussetzung dann 1-(1/(n+1)) + 1/((n+1)*(n+2))

Leider komme ich nun nicht weiter; ich weiß nicht, wie ich umformen kann, sodass ich auf 1-(1/(n+2)) komme.

Kann mir da jemand helfen?

Vielen Dank und entschuldigt die umständliche Schreibweise

Answer 1

Die Rechnung ist folgende:

$$ \begin{aligned}...&= 1 - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \\ &= 1 - \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \\ &= 1 - \left( \frac{n+2}{(n+1)(n+2)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \\ &= 1 - \frac{n+2 - 1}{(n+1)(n+2)} \\ &= 1 - \frac{n+1}{(n+1)(n+2)} \\ &= 1 - \frac{1}{n+2}\end{aligned}$$

Answer 2

Induktionsbehauptung: Summe = 1 - 1/(n+2).

Bringe dann :  -(1/(n+1)) + 1/((n+1)*(n+2))

auf einen Bruchstrich. (Du kannst dann kürzen)

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=-(1%2F(n%2B1))+%2B+1%2F((n%2B1)*(n%2B2))

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Vgl. auch https://www.mathelounge.de/499250/beweisen-folgenden-aussagen-durch-vollstandige-induktion