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Zunächst :
f(x,y) = x^2/y


Kann ich einfach den limes für (0 , y) betrachten und erhalte:

limes y-> 0 von  0 /y   = 0

Und limes für (x,x^3) und erhalte:

f(x,x^3) = x^2/x^3= 1/x

limes x-> 0 von 1/x  = unendlich

=> es existiert kein Grenzwert




2.

f(x,y) = y/x * (e^x -1)

Betrachten wir:
f(x,0)

limes x->0 von f(x,0) = 0

Ich finde nun keine weiter Richtung, die nicht gegen 0 läuft. Vermutung: Grenzwert liegt bei 0. Wie zeige ich das nun? Für Epsilon-delta sehe ich da keine Möglichkeit gut abzuschätzen.

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Bei der zweiten Funktion kann man eventuell nutzen, dass e^{x}≈x+1 bzw. e^{x}>=x+1 für x nahe 0 gilt.

Dann kürzt sich das x im Nenner raus und y  geht gegen 0 gehen.Dann hat man auch alle Richtungen abgedeckt.

1 Antwort

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 Wenn du den limes für (0 , y)  betrachten wolltest, müsstest du auch den limes für (x,0) betrachten, das aber in diesem Fall nicht erlaubt ist.

Du kannst zum Beispiel y=mx^2 betrachten. Dann siehst du dass der limes abhängig von m ist, also existiert er nicht.

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So wie ich es verstehe, hat Marvin bei 1) mit Hilfe von 2 Richtungsableitungen mit unterschiedlichen Ergebnis gezeigt, dass der Grenzwert nicht existiert. Das genügt doch.

Bei 2) hatte ja jc2144 einen guten Vorschlag.

Ja, es sind zwei verschiedene Wege zu zeigen dass der Limes nicht existiert.

Beim einen Weg, betrachten wir als erstes x=0 und findet den limes wenn y->0 und danach betrachtet man y=0 und findet den limes wenn x->0.


Beim zweiten Weg setzt man y=mxp , p ∈ ℕ und wenn der limes abhängig von m ist, existiert er nicht.

Den ersten Weg können wir in diesem Fall nicht anwenden, da die Funktion nicht definiert ist für y=0.

Ich sehe dein Problem noch nicht bei: 

" limes y-> 0 von  0 /y   = 0  "

Nimm z.B. Hospital

limes y-> 0 von  0 /y   = lim 0/1 = 0

Definitionslücken bedeuten doch nicht automatisch, dass der Grenzwert nicht existiert. 

"da die Funktion nicht definiert ist für y=0."

Aber für x= 0 ist sie definiert. 

Ich sehe da kein Problem. Ich meinte nur dass man den Weg den ich oben beschrieben habe nicht in diesem Fall benutzen kann.

Alles klar.

Meinst du damit meinen Weg?
Ich nähere mich dem Punkt (0,0) doch aus zwei verschiedenen Richtungen an. Das ist ja unabhängig davon, ob die Funktion im Punkt (0,0) existiert.

Nein, ich meinte diesen:

Beim einen Weg, betrachten wir als erstes x=0 und findet den limes wenn y->0 und danach betrachtet man y=0 und findet den limes wenn x->0.


In den Buch von Marsden&Tromba, werden die Wege die ich beschrieben habe, benutzt.


Ich habe deinen nochmal gelesen, er ist auch richtig.


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