f(x) = a*sin (x + phi) Werte für a und phi?

Question

Die beiden Funktionen f(x) = 2 cos(x) und g(x) = sin(x) werden addiert und geben die Funktion f(x) = a*sin (x + phi). Berechnen Sie die Werte für a und phi.
Hier komme ich einfach nicht weiter und habe auch nicht wirklich einen Ansatz. Die einzige Idee die ich hatte ist das: 2 cos(x) + sin(x) = a*sin (x + phi) und dann habe ich für x zwei frei ausgewählte Werte eingesetzt.
Danke, für eure Ideen!

Answer 1

Ist doch eine prima Idee.

Ich nehme x=0 und x=pi/2 gibt

2=a*sin(φ)  und  1 = a*cos(φ)   also a = 1 / cos(φ) 

gibt bei der ersten

2 = 1 / cos(φ)  * sin(φ) = tan(φ) 

also φ= arctan(2)  und   a =  1 /   cos(  arctan(2) )

Sieht gut aus ( hab den 2. Graphen um 0,5 nach oben geschoben,

damit man es besser sieht).

~plot~ 2*cos(x)+sin(x); 0,5+1/cos(atan(2))*sin(x+atan(2)) ~plot~

Comments

Wie kommst du auf 1 = a*cos(φ)?

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Wie kommst du auf 1 = a*cos(φ)?

f(x) = 2 cos(x) und g(x) = sin(x) gibt

für x = pi/2

f(pi/2) = 2 cos(pi/2) = 0

g(pi/2) = sin(pi/2) = 1

also ist die Summe = 1

und das ist gleich a*sin (pi/2 + phi)= a * cos(phi)

nach der Formel   sin (pi/2 + phi)= cos(phi).

(Phasenverschiebung von sin nach cos.)

Answer 2

Hi, das kann man so machen und bekommt ein goniometrisches Gleichungssystem. Sicher müssen die Werte für x geschickt gewählt werden.

Comments

Man kann Arbeit sparen, wenn man die Gleichung einmal ableitet und dann jeweils \(x=0\) einsetzt. Man erhält das Gleichungssystem

$$2 = a \cdot \sin(\varphi) \\ 1 = a \cdot \cos(\varphi) $$

Division ergibt \(\varphi = \arctan(2)\) und Einsetzen dann \(a=1/\cos\left(\arctan(2)\right) \).