ich soll die Umkehrung des Kathetensatzes beweisen mit dem Skalarprodukt.
Der Kathetensatz an sich beweist ja, dass in einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den Seiten a,b,c die Höhe auf der Hypotenuse c diese in zwei Abschnitte p und q teilt. Dann gilt in diesem Dreieck, dass a^2=p*c und b^2=q*c ist.
Den Kathetensatz an sich habe ich folgendermaßen bewiesen:
Z.zg.: a*a=p*c
Mit den Voraussetzungen: 1.) a*b=0, h*q=0, h*p=0 und h*c=0 2.) a=h+p=b+c
Beweis: a*a=(h+p)(b+c)=hb+hc+pb+pc= b(h+p)+hc+pc=
Da h+p=a ist und hc=0 folgt daraus ba+0+pc= weil b*a=0 ist folgt daraus 0+0+pc
Also a*a=pc
Doch wie soll ich jetzt die Umkehrung formulieren? Ich muss ja beweisen, dass wenn a^2=p*c gilt, das Dreieck rechtwinklig ist, also ist zu zeigen a*b=0
Ich würde jetzt für a*b andere Ausdrücke einsetzen, also z.B. (h+p)(h-q) oder so, aber dabei komme ich ja niemals auf das gewünschte Ergebnis,nämlich a*b=a*a-p*c=0...
Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?
Würde mich über jeden Tipp freuen!
