(Dichte)- Funktion gegeben. h bestimmen

Question

Ein Lösungsweg wäre super :-)

Comments

Hast du denn irgendeinen Ansatz oder eine Überlegung zu einer der Teilaufgaben?

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also ich habe das größte problem darin h zu bestimmten. es sieht aus wie ein gleichschenkliges Dreieck.

also würde man doch ( oh Gott ist das lange her) a^2*b^2= c^2 berechnen.

Geschätzt würde ich sagen, h= 3 aber das ist nur eine Vermutung

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Die Fläche, die der Graph der Dichtefunktion \(f_X(x)\) mit der \(x\)-Achse einschließt, muss den Wert 1 ergeben. Da die Einschlussfläche offenbar ein Dreieck mit der Grundseitenlänge 4 ist, ergibt sich für die Höhe: \(4\cdot h / 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad h=0.5\).

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Du solltest dich vielleicht mit https://www.mathelounge.de/368703/wahrscheinlichkeitsdichtefunktion-berechnen zusammentun.  ;)

Answer 1

a) Die Fläche zwischen einer Dichtefunktion und der x-Achse ist + 1.

Daher muss gelten 1 = 1/2 * 4 * h

==> 1 = 2h

==> 1/2 = h. 

b) 

Dichtefunktion sei f.

f(x):=0 für x< -1 oder x>3

f(x):= 1/4 x + 1/4  für -1 ≤ x ≤ 1

f(x):= -1/4 x + 3/4 für 1 ≤ x ≤ 3

Kontrolle

~plot~ 1/4 x + 1/4 ; -1/4 x + 3/4 ~plot~

Nun integrieren

Klar muss sein:

F(x) = 0 für x < -1 .

F(x) = 1 für x > 3.

F(x) = int_(-1)^x 1/4 x + 1/4 dx  für -1 ≤ x ≤ 1

= 1/8 x^2 + 1/4 x |_(-1)^x

= 1/8 x^2 + 1/4 x - (1/8 - 1/4)

= 1/8 x^2 + 1/4 x + 1/8 für -1≤x≤1 

Hier nun F(1) ausrechnen. 1/8 + 1/4 + 1/8 = 1/2 . stimmt aus Symmetriegründen. (Hälfte von 1 ) 

F(x)=1/2 +   int_(1)^x ( -1/4 x + 3/4) dx  für 1 ≤ x ≤ 3

= 1/2 + (-1/8 x^2 + 3/4 x)_(1)^x

= 1/2  -1/8 x^2 + 3/4x - (-1/8 + 3/4) 

F(x) =1/2  -1/8 x^2 + 3/4 x - 5/8   für 1≤x≤ 3

Kontrolle

F(1) = 1/2  -1/8 + 3/4 - 5/8 = 1/2.  stimmt.

F(3) = 1/2 -1/8 * 9 + 3/4 * 3 - 5/8 = 1/2 -9/8 + 9/4 - 5/8 = 4/8 - 9/8 + 18/8 - 5/8 = 8/8 = 1.  stimmt. 

(c) Berechne einfach einmal: https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F8+x%5E2+%2B+1%2F4+x+%2B+1%2F8+%3D+0.1

1/8 x^2 + 1/4 x + 1/8 = 0.1 

und wähle das Ergebnis, das zwischen -1 und 1 liegt. 

Also x ≈ -0.105573

(d) Aus Symmetriegründen muss gelten 

E(X) = 1. 

Comments

kann ich bei der Berechnung des Quantils auch einfach die F(x) = 0,1 setzten? und dann mit dem Gleichungssystem nach x auflösen?

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kannst du mir das mit dem Erwartungswert nochmal erklären?

da ja eigentlich E(X) = f(x)*x gerechnet wird

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Ich habe mir das rein geometrisch überlegt, aber ich probiere das mal noch zu rechnen.

E(X) = Int_(-1)^1 (x * (1/4 x + 1/4)) dx + int_(1)^3 (x (  -1/4 x + 3/4) dx

= 1/4  Int_(-1)^1 ( x^2 + x)) dx + 1/4 int_(1)^3 ( - x^2 + 3x) dx

= 1/4 ( ( 1/3 x^3 + 1/2 x^2)_(-1)^1 + ( - 1/3 x^3 + 3/2 x^2)_(1)^3 ) 

= 1/4 ( 1/3 + 1/2 - ( -1/3 + 1/2)  + (  ( -1/3 * 27 + 3/2 * 9 ) - (-1/3 + 3/2))  

= 1/4 ( 1/3 + 1/2 + 1/3 - 1/2   - 9 + 27/2 + 1/3 - 3/2 )   

= 1/4 ( 1    - 9 + 24/2 )

= 1/4 ( 1 - 9  + 12 ) 

= 1/4 ( 4) 

= 1           wie vermutet. 

Rechne aber trotzdem genau nach. 

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" kann ich bei der Berechnung des Quantils auch einfach die F(x) = 0,1 setzten? und dann mit dem Gleichungssystem nach x auflösen? " 

Ja. Das habe ich gemacht.

Hier: 1/8 x² + 1/4 x + 1/8 = 0.1   

Das gibt aber nur eine quadratische Gleichung (kein Gleichungssystem). Das Quantil 0.1 ist auf jeden Fall zwischen -1 und 1. Daher einfach den "Ast" von F nehmen, der dort definiert ist. 

Answer 2

Hi,

die Fläche des Dreiecks berechnet sich nach

$$  A = \frac{4h}{2} = 1 $$ und daraus folgt \( h = \frac{1}{2} \)

Comments

wie komme ich den auf den wert vier?

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Ich sollte wohl etwas Geometrie wiederholen..

1/2 mal höhe mal breite richtig?