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Können die reellen Zahlen als Vereinigung von überabzählbar vielen disjunkten, nicht entarteten Intervallen dargestellt werden?

Wenn ja, wie? Ein Existenzbeweis wäre aber auch hinreichend.

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Was ist denn ein entartetes Intervall?

Ein entartetes Intervall ist ein Intervall, bei dem die linke Grenze gleich der rechten Grenze ist.

2 Antworten

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Betrachte die Vereinigung aller ] - x ; x [ mit x > 0  und x aus IR.

Avatar von 287 k 🚀

Die Intervalle sind nicht disjunkt.

stimmt, hab ich übersehen.

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Jedes Intervall enthält eine rationale Zahl.

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Und inwiefern führt uns das zu einer Vereinigung überabzählbar vieler disjunkter, nicht-entarteter Intervalle?

Überhaupt nicht. Ganz im Gegenteil zeigt es, dass eine solche Vereinigung nicht existiert.

Aha verstehe:  Wenn ich  eine solche Vereinigung habe, muss wegen der

Disjunktheit für jedes rationale x ein eigenes Intervall  Ix existieren.  

Die Vereinigung dieser Ix ist aber schon ganz IR, weil Q in IR dicht liegt . 

Da Q abzählbar ist, sind es nur abzählbar viele. Also gibt es

keine überabzählbar große Vereinigung dieser Art.

Klingt einleuchtend.

Um das Argument von mathef mal etwas zu präzisieren:

Sei T eine Menge von disjunkten Intervallen, so dass  ∪I∈T I = ℝ ist.

Sei f: ℚ→T derart, dass f(q) = I ⇔ q∈I ist.

Die Abbildung f ist wohldefiniert, weil

  • die Mengen in T disjunkt sind, also zu jedem q∈ℚ höchstens ein I∈T mit q∈I existiert, und
  • zu jedem q∈ℚ existiert mindestens ein I∈T mit q∈I, weil ∪I∈T I ⊃ ℚ ist.

Weil die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen (a.k.a. "Jedes Intervall enthält eine rationale Zahl") ist f surjektiv. Es muss also |T| ≤ |ℚ| sein.

Weil ℚ abzählbar ist, ist auch T höchstens abzählbar.

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