Berechnen Sie die Grenzwerte

Question

Hallo es gibt eine Aufgabe von alt Klasur:

Berechnen Sie die Grenzwerte lim_x→∞ an bzw. lim_x→∞ bn mit

a_n = ⁿ√ (2 ⁿ + 3ⁿ + 5ⁿ) 

und

b_n+1 = √(2bⁿ + 4) − 1, 

b₀ = 6, 

n = 0, 1, 2, . . . . 

Kann jemand es lösen und zeigen wie es geht? 

Answer 1

(5^n)^{1/n}<a_n<(3*5^n)^{1/n}

Sandwich-Kriterium liefert 

lim n -->∞ a_n  = 5

lim  -->∞ b_n+1= lim -->∞ b_n

√(2b+4)-1=b

--> b=√3

Answer 2

  Hier kommst du mit ganz schmutzigen Tricks zum Ziel:

      f  (  x  )  :=  [  2  ^ x  +  3  ^  x  +  5  ^  x  ]  ^  1 / x        (  1a  )

           lim           f  (  x  )             (  1b  )

      x ===>  ( °° )

      In solchen Fällen hilft immer Logaritmieren:

     g  (  x  )  :=  ln  f  (  x  )  =  ( 1/x )  ln  [  2  ^ x  +  3  ^  x  +  5  ^  x  ]       (  2a  ) 

      Im Zähler von ( 2a ) steht der Logaritmus; und im Nenner steht x . Wir haben den unbestimmten Fall ( °° ) / ( °° ) ; und die Krankenhausregel ist anwendbar.

                                              ln ( 2 ) 2  ^  x  +  ln ( 3 ) 3  ^  x  +  ln ( 5 ) 5  ^  x 

      lim  g  (  x  )  =  lim   --------------------------------------------------------------------         (  2b  )

                                                  2  ^  x  +  3  ^  x  +  5  ^  x 

       Und ( 2b ) wird durchaus schon im elementarunterricht verlangt ; " Ich kapier Logaritmus nicht; wer kann helfen? " Ich schrieb, du kürzest immer durch die größte Basis aller drei auftretenden e-Funktionen. Und das ist 5

                                              ln ( 2 ) ( 2/5 )  ^  x  +  ln ( 3 ) ( 3/5 )  ^  x  +  ln ( 5 )

      lim  g  (  x  )  =  lim   --------------------------------------------------------------------     =  ln  (  5  )         (  2c  )

                                                  ( 2/5 )  ^  x  +  ( 3/5 )  ^  x  +  1

     Mit diesem schmutzigen Trick erreichen wir nämlich, dass sämtliche auftretenden e-Funktionen gegen Null gehen, weil ja nach Konstruktion alle auftretenden Basen kleiner Eins bleiben.  Und jetzt besinnen wir uns wieder auf die ursprüngliche Definition ( 2a ) Wenn also der LOGARITMUS der gesuchten Funktion gegen ln ( 5 ) geht, dann muss der Grenzwert von f ( x ) gleich 5 sein .