Ungleichung mit Betrag und Bruch lösen

Question

Ich benötige ein wenig Unterstützung bei dieser Ungleichung:

$$ \frac { x+2 }{ |x-3| } <\frac { x }{ x+1 }  $$

Als erstes habe ich den rechten Bruch auf die linke Seite geholt:

$$ \frac { x+2 }{ |x-3| } -\quad \frac { x }{ x+1 } <0 $$

Dann habe ich drei Fälle zu untersuchen:

x < -1, -1 < x < 3, x > 3

Für Fall 1: x < -1

$$ \frac { x+2 }{ (x-3)(-1) } -\quad \frac { x }{ x+1 } <0 $$

ERGIBT:

$$ \frac { (x+2)*(x+1) }{ (x-3)(-1)*(x+1) } -\frac { (x)(x-3)(-1) }{ (x-3)(-1)*(x+1) }  $$

ALSO

(x-3)(-1) da für x < -1 die Gleichung negativ wird.

Ist der Ansatz soweit richtig?

Answer 1

>  (x-3)(-1) da für x < -1 die Gleichung negativ wird.

(x-3)(-1) da für x < -1    der Term x-3   negativ wird.

 sonst habe ich nichts zu bemängeln.
(x-3) * (-1)   kannst du einfacher als 3-x schreiben

Comments

Gut dann hab ich das soweit.

Als nächstes habe ich den großen Bruch dann etwas vereinfacht. Ich bin dann auf das hier gekommen:

$$ \frac { { 2x }^{ 2 }+2 }{ (x-3)(-1)*(x+1) } <0 $$

Dann habe ich die Vorzeichentabelle angewandt:

So habe ich für -inf, -1 einen Wert der < -1 ist, also schon mal in die Lösung passen würde.

Mit der Vorzeichentabelle komme ich aber auch für 3, inf+ auf einen negativen Wert. Aber dass kann ja keine Lösung sein, da ich ja für x <-1 untersuche.

Ist das richtig argumentiert?

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für diesen 1. Fall ist die Argumentation richtig

Am Ende ergibt sich übrigens auch  L = ] - ∞ ; -1 [

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Gut. Ich habe die beiden anderen Fälle auch mal duchrgerechnet. Ebenfalls mussten dort Vorzeichentabellen gemacht werden. Wobei gerade bei Fall 3 mit x > 3 mit der Bedingung, dass die Gleichung < 0 ist das schon wenig Sinn ergibt.

Also bildet Fall 1 nur eine Lösung für die Gleichung.

Hatte man auch einfacher rechnen können wenn man gleich:

$$ \frac{x+2}{|x-3|} \lt \frac{x}{x+1} $$

| *(3-x) (Betrag) (Zeichen dreht sich NICHT)

| * (x+1) Hier dreht sich dann das Zeichen da BSP: -99+1 negativ ist

Hier kommt man dann schnell auf

x^2 > -1 und das stimmt ja.

Also weiß man das x^2 > -1 eine Wahre aussage ist, somit ist die Lösung

-inf -1

Dürfte richtig sein oder?

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Die Lösungsmenge ist richtig, hatte ich gerade oben ergänzt :-)