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Funktion lautet fa(x)=x^3/(x^2+a)

Aufgaben:

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich, Nullstellen, Polstellen

b) Bestimmen Sie die Art und Lange der Extremas sowie der Wendepunkte

c) Bestimmen Sie die Ortskurven der Extremas

Ich hoffe Bild Mathematikihr könnt alles lesen:)

Bedanke mich im Voraus wie immer

Bild Mathematik

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3 Antworten

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Nullstelle ist x=0. Außer im Falle a=0, dann existieren keine Nullstellen

Definitionsbereich ist ℝ\{±√-a}. Dass heißt für a>0 ist Definitionsbereich ℝ, weil √-a ∉ ℝ. Dementsprechend gibt es für a>0 keine Polstellen.

Für a ≤ 0 kommen Polstellen bei x=±√-a in Betracht. Polynomdivision liefert einen linearen Rest bei quadratischem Nenner, also handelt es sich tatsächlich um Polstellen. Außer im Falle a=0, dann handelt es sich um eine hebbare Lücke.

Deine Ableitungen sind richtig.

Notwendige Bedingung für Extrempunkte ist richtig. Hinreichende Bedingung kannst du dir für a>0 sparen. Aber x=0 solltest du noch auf Extremstellen prüfen.

Wendepunkte solltest du noch mit einem hinreichenden Kriterium prüfen.

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So ich habe mich nun einmal angemeldet.

Danke erst mal für die  Antwort.

Ich verstehe das mit dem Definitionsbereich nicht so recht, warum gibt es denn für a>0 keine Polstellen und wendet man die Polynomdivision nicht nur bei den Asymptoten an, wenn der Grenzwert der Funktion keine reale Zahl ergibt sonder +- unendlich ?
Bin nun etwas verwirrt :)

Also eine genaue Erläuterung wäre sehr nett,  bin gerade etwas am verzweifeln :)

LG

" warum gibt es denn für a>0 keine Polstellen? " 

Polstellen kann es bei gebrochenrationalen Funktionen nur geben, wenn der Nenner Null ist. Eine reelle Zahl im Quadrat +a kann dann nicht 0 werden. 

> Ich verstehe das mit dem Definitionsbereich nicht so recht

Definitionsbereich sind die Zahlen, die für x eingesetzt werden dürfen.

> ... warum gibt es denn für a>0 keine Polstellen

Polstellen sind spezielle Definitionslücken. Für a>0 gibt es keine Definitionslücken, also kann es keine Polstellen geben.

> wendet man die Polynomdivision nicht nur bei den Asymptoten an

Nein, auch zur Ermittlung von Polstellen kann man Polynomdivision verwenden.

Laut Polynomdivision ist \( \frac{x^3}{x^2+a} = x - \frac{ax}{x^2+a} \).

Weit weg von den Definitionslücken verhält sich die Funktion so wie \( a(x) = x \). Das ist das, was du wohl mit Asymptote meinst.

In der Nähe der Definitionslücken verhält sich die Funktion so wie  \( p(x) = -\frac{ax}{x^2+a} \). Für a < 0 ist bei x0=√(-a) eine Definitionslücke. Es ist

        \( \lim_{x\to x_0-}-\frac{ax}{x^2+a} = -\infty \) (linksseitiger Grenzwert)

weil wenn \( x \to \sqrt{-a} \) von links, dann ist

    ax < 0 wegen a<0 und x>0

    x2 < |a| wegen linkseitigem Grenzwert, also auch

   x2+a < 0 wegen a<0 und deshalb

    \( \frac{ax}{x^2+a} > 0\), also

    \( -\frac{ax}{x^2+a} < 0\).

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Habe nur einiges geprüft. Die zweite Ableiung ist fa''(x)= (6a2x-2ax3)/(x2+a)3 .

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Aus dem ZDF und von meinem Big Boss ( Ich war Programmierer in einem Welt-Elektronikkonzern ) weiß ich: Das Mathestudium wenn du hast, hast du am Arbeitsmarkt nur die besten Chancen. Weil die Perso weiß: Du hast FALLUNTERSCHEIDUNG drauf. Ich selbst bin ja nur popeliger Physiker - wenn auch promoviert. Wie OFT musste ich mir vom Chef anhören ( ( Mathematiker; nicht promoviert )

  " Schon wieder haben Sie einen Fall übersehen. was ich aber noch schlimmer finde: Welche Aktion lösen wir denn in diesem Fall aus? "

   Also machen wir doch eine Falluntertscheidung. Der triviale Fall wäre a = 0 ; dann hast du nämlich die Winkel Halbierende ( WH )

   Dieser Wurzel entledige ich mich mit deinem Einverständnis; die Sache wird doch wesentlich übersichtlicher, wenn wir unterscheiden zwischen ( 1a ) und ( 1b )


                                       x  ³

       f  (  x  ;  a  )  :=  ------------------------              (  1a  )

                                   x  ²  +  a  ²


                                       x  ³

       f  (  x  ;  a  )  :=  ------------------------              (  1b  )

                                   x  ²  -  a  ²



       Nicht gefragt, aber ganz ganz wichtig: ( 1ab ) zeigen ungerade Symmetrie. Und eine ( mehrfache Nullstelle von ungerader Ordnung ( hier: 3-fache im Ursprung ) ist immer ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) - typisch aber nicht notwendig für ungerade Symmetrie. Wegen der Symmetrie beschränke ich meine Aussagen auf x > 0 .

    Polstellen im Fall ( 1a ) finden sich nicht; ===> natürlicher Definitionsbereich ist |R ( Doch; der Begriff des natürlichen Defbereichs spielt eine große Rolle in der ===> Funktionenteorie. ) Im Falle ( 1b ) hast du den einfachen Pol x0 = a .

    Was wieder nicht gefragt war; um die kritischen Stellen einzukreisen, wäre eine Kenntnis der Asymptotik von Vorteil. Die Polynomdivision missbraucht ihr ja für die unmöglichsten Zwecke; aber hier empfiehlt sie sich wirklich.  Beispiel ( 1b )


                                                                 a ² x

      x  ³  :  (  x  ²  -  a  ²  )  =  x  +       ------------------------       (  2  )

                                                            x  ²  -  a  ²    



      Da der Bruch in ( 2 ) echt gebrochen ist; Nennergrad > Zählergraad, geht er für x ===> ( °° ) gegen Null - die WH stellt sich ganz allgemein als Asymptote heraus. Damit ist für x > a die Funktion mit Sicherheit positiv; dort liegen ja keine weiteren Nullstellen.

    Ganz wichtig; Ableitung is noch lange nich. Erst mal überlegen wir uns den qualitativen Kurvenverlauf, wobei x IMMER VON RECHTS NACH LINKS zu durchlaufen ist. Weil dann entsteht nämlich keine Unklarheit über das Vorzeichen; näherst du dich dem Pol bei a von Rechts, geht f ( x ) ===> ( + °° )

   Aha;  ein Minimum x ( min ) > a ist schon mal Ding fest gemacht. Links von dem einfachen Pol haben wir einen Vorzeichenwechsel; der Graf kommt wieder von ( - °° ) Dagegen im Falle ( 1a ) verläuft die Kurve wahrscheinlich monoton.

   Ich hypnotisiere dich jetzt. Schließlich löst ja die Quotientenregel ( QR )psychotische Krisen aus.

   Sie ist ABSOLUT TÖDLICH .

   Du musst sie meiden WIE DIE PEST .

   Ich zähle jetzt bis Zehn; und dann hast du das Wort QR vergessen ...

   Im Falle ( 1b ) böte sich doch ganz typisch die Technik des ===> logaritmischen Differenzierens an, welche die Rechenstufe um Eins vermindert. Und jetzt nicht sagen, die Ableitung von Logaritmus war noch nicht dran - DIE Ausrede zählt nicht. Im Telekolleg erfuhr ich, dass Logaritmus DEFINIERT ist als ===> Stammfunktion, als " Aufleitung " der Normalhyperbel; eine Definition kann man bekanntlich nicht begründen.


       ln  (  y  )  =  3  ln  (  x  )  -  ln  (  x  ²  -  a  ²  )          (  3a  )


       Kettenregel beachten


     y  '                             3                         2 x

  -----------   =  0  =       -------      -     -----------------------        (  3b  )

      y                               x                    x  ²  -  a  ²


        x  (  min  )   =  a  sqr  (  3  )      (  3c  )


     eine Strenge Proportionalität mit a . ( Hier ich hab doch das bessere Feeling; a ² ist der natürliche Parameter und nicht  a )

   Mach och gleich d) ; Ortskurve


          y  =  ( 3/2 )  x      (  3d  )


     Mit den WP passiert jetzt was ganz Merkwürdiges. Erwarten tu ich erst mal keine. Wie bestimme ich die 2. Ableitung? Die erste haben wir ja nur implizit berechnet. Eine ganz klare Regel:

   Eine 3-fache Nullstelle der Ausgangsfunktion ist immer " eins weniger " , also doppelte der ersten Ableitung.

   Und ein einfacher Pol der Ausgangsfunktion ist immer " eins mehr " , also doppelter der ersten Ableitung.

   Einnwand für super schlaue; auch ( 1a ) besitzt Pole. Nur sind die eben imaginär. Es zahlt sich ebben doch aus, an komplexe Zahlen zu glauben ...  Bis auf unwesentliche Vorfaktoren


                               x  ²

         y  '  =   ------------------------              (  4a  )

                         (  x  ²  +  a  ² )  ²    


       ln  (  y  '  )  =  ln  (  x  )  -  ln  (  x  ²  +  a  ²  )          (  4b  )


    Den gemeinsamen Vorfaktor 2 in ( 4b ) hab ich gleich weg gelassen.


     y  "                             1                         2 x

  -----------   =  0  =       -------      -     -----------------------        (  4c  )

     y  '                               x                    x  ²  +  a  ²


        x  (  w  )  =  a       (  4d  )


     Da wir diesen WP inicht erwartet haben, müsen wir die 3. Ableitung nachprüfen. Mit dem Logaritmus geht  das hier aber nicht mehr, weil du dann durch Null dividieren müsstest - ist dir das so weit klar?

    Ich habe ein Verfahren entwickelt, das so ähnlich funktioniert wie das ===> Gaußsche Dreiecksverfahren. Bring erst mal ( 1a ) auf ganz Rational:


           y  (  x  ²  +  a  ²  )  =  x  ³       (  5a  )

          f  (  a  )  =  a / 2     (  5b  )


      erste Ableitung mit der Produktregel:


       (  x  ²  +  a  ²  )  y  '  +  2  x  y  =  3  x  ²      (  6a  )

       2  a  ²  f  '  (  a  )  +  2  a  f  (  a  )  =  3  a  ²     (  6b  )

    

     und unter Beachtung von ( 5b )


       f  '  (  a  )  =  1     (  6c  )


  ( max Zeichen )

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   Ich will alles nie wieder tun - versprochen. Ab ( 1.4 ) wird meine Argumentation falsch. Wer Lusthat, mag sich überlegen warum.
   Was ich euch eigentlich ersparen wollte: Meine Erkenntnis, dass man gebrochen rationale Funktionen genau so ab-wie aufleitet; und aufleiten tut man sie bekanntlich mit Polynomdivision & Teilbruchzerlegung ( PDTZ ) Und ursprünglich hatte ich ein bissele Bammel, ich muss euch die TZ erklären. Deren Kenntnis ist nämlich bei Weitem nicht so verbreitet wie PD . Allein meine Bedenken werden sich als unbegründet heraus stellen.
   In ( 1.2 ) ist die TZ angesagt von



                                        a ² x                           A                  B
       g  (  x  )  :=    --------------------------   =   --------------  +  ------------       (  2.1  )
                               x ² ( +/- ) a ²                    x + x0             x - x0




    wobei im Falle ( 1.1b ) zu setzen ist x0 = a so wie im Falle ( 1.1a ) x0 = i a  Letzteres ist zwar imaginär, aber das soll uns nicht weiter stören.
   Eine echte Erleichterung ergibt sich nämlich schon, wenn du die ungerade Symmetrie von ( 2.1 ) beachtest:



                                                  A                    B
            g  (  -  x  )    =     -    --------------   -   ------------              (  2.2a  )
                                                x - x0             x + x0



     Dabei ist ( 2.2a ) zunächst die ganz allgemeine Spiegelung zu Mindest dann, wenn die beiden Pole Spiegel symmetrisch fallen. Diese Eigenschaft ist zwar notwendig, aber noch lange nicht hinreichend für irgendeinen symmetrischen Verlauf der Kurve.Ungerade Symmetrie von ( 2.1 ) bedeutet dass



                                                                   A                    B
       g  (  -  x  )  =  -  g  (  x  )   =     -    --------------   -   ------------              (  2.2b  )
                                                               x + x0             x - x0



     Nun ist aber die TZ eindeutig; daher ist Koeffizientenvergleich zwischen ( 2.2a ) und ( 2.2b ) zulässig.



                -  A  =  -  B  ;  -  B  =  -  A      (  2.3  )



    Ohne auf den Wert von A näher einzugehen, haben wir in ( 1.2 ) die Zerlegung



                                                            1                     1
            f  (  x  )    =   x  +   A     [    --------------   +   ------------   ]                   (  2.4a  )
                                                         x + x0             x - x0



                                                                 1                             1
            f  '  (  x  )    =   1  -   A     [    ----------------------   +   -----------------    ]               (  2.4b  )
                                                           ( x + x0 )  ²                ( x - x0 )  ²




                                                                 1                              1
            f  "  (  x  )    =   2  A     [    ----------------------   +   --------------------    ]   =  0              (  2.4c  )
                                                           ( x + x0 )  ³                ( x - x0 )  ³



      Und - oh - wunder - A kürzt sich aus dem ganzen Problem heraus.



         (  x  +  x0  )   ³  =  (  x0  -  x  )  ³   |  ^ 1/3     (  2.5a  )

        x  +  x0  =  x0  -  x   ===>   x  (  w  )  =  0    (  2.5b  )


     Damit gibt es wie erwartet keine weiteren WP außer dem uns schon von Vorn herein bekannten TP .

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