Ungleichung berechnen mit Wurzel (Lösungsmenge und Wurzel untersuchen)

Question

Hi,

ich habe mir gerade einfach mal ein paar Beispiel Ungleichungen aufgeschrieben, um mal wieder in die Thematik einzusteigen:

$$ \sqrt { \frac { x-1 }{ x-3 } +1 } <3 $$

Meine erste Frage ist, wie weiß ich denn überhaupt, welche Fälle ich hier untersuchen muss.

Bei normalen Bruchungleichungen oder Beträgen ist das ja noch einfach, guck dir den Nenner an, und dann hast du deinen Bereich. Aber wie sieht das bei einer Wurzel-Ungleichung aus, wie komme ich dort auf meine Fälle?

Ist das der richtige Ansatz:

$$ \frac { x-1 }{ x-3 } +1\quad =\quad 0 $$

und x ermitteln, oder wie geht man hier vor?

Answer 1

Der richtige Ansatz ist, Gleichungsumformungen durchzuführen; und zwar auf der ursprünglichen Ungleichung:

\(\begin{aligned} \sqrt{\frac{x-1}{x-3}+1} & <3 &  & |\,()^{2}\\ \frac{x-1}{x-3}+1 & <9 &  & |\,-1\\ \frac{x-1}{x-3} & <8 &  & |\,\cdot(x-3)\\ x-1 & <8x-24 &  & |\,-x+24\\ 23 & <7x &  & |\,:7\\ \frac{23}{7} & <x \end{aligned}\)

Jetzt kannst du dir darüber Gedanken machen, was für zusätzliche Anforderungen an \( x \) noch existieren. Zu nennen sind da

• Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung
• Wurzeln von negativen Zahlen gibt es nicht
• Man darf nicht durch 0 teilen
• Bei Multiplikation mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgdreht werden.
  

Comments

Schön, das deckt sich mit meinen Überlegungen, zum einen seiv vielleicht auch zu nennen, dass für x= 3 durch 0 geteilt wird.

Man hätte dann als Lösungsmenge x>23/7 bis inf+

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Und noch x-1 > 8x-24 mit x-3 < 0.