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nabend , 


Könnte mir bitte hier jemand helfen ?

Bild Mathematik Bitte mit so viele Schritten wie möglich  

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Nabend ,


Kann mir jemand bitte schritt weise die folgende Aufgabe erklären ? Bzw. die Lösung ( mit so viele Schritten wie möglich hinschreiben ) 



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EDIT: Schargleichung und Versuch der Ableitung zusammengefügt. 

Sollst du auch noch eine Gleichung für die Ortskurve für die Extrempunkte finden? 

Wenn ja: Hast du mit der Rechnung von Wolfgang und  H ( e1/2 - a | 1/2 · e2a-1 ) schon eine gute Vorarbeit vorliegen. 

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Beste Antwort

fa(t) =  (ln(t) + a) / t2

Mit der Quotientenregel erhält man 

fa'(t) = [ 1 / t  · t2 - (ln(t) + a) · 2t ] / t4  =  [ t · (1 - 2 · (ln(t) +a) ] / t4

         =  [ -2·ln(t) - 2·a + 1) ] / t3 

fa"(t) = [ 6·ln(t) + 6·a - 5 ] / t4  

fa'(t) =  [ -2·ln(t) - 2·a + 1) ] / t3 = 0  →  t = e1/2 - a 

fa"( e1/2 - a ) = - 2·e4a-2 < 0  →  t = e1/2 - a   ist  Maximalstelle

fa( e1/2 - a )  = 1/2 · e2a-1    →   H ( e1/2 - a | 1/2 · e2a-1 )

Zum Beispiel ergibt sich für a=1     H(e-1/2 | e/2 ) ≈ H( 0,6 | 1,34 )

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Gruß Wolfgang

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  Hier ihr geht das tendenziell vböllig falsch an. Ihr macht euch nur selber das Leben schwer; Als Erstes immer die Nullstelle:


           t0  =  exp  (  -  a  )        (  1  )



       Halt stop; Ableiten is noch lange nich. Wir müssen uns nämlich erst mal einen Überblick verschaffen über diesen Slalom.Ganz wichtig; die Asymptotik. Für t ===> ( + 0 ) geht die Funktion gegen Minus Unendlich, obgleich wir im strengen Sinne eigentlich keine Polstelle haben. Und was passiert für x ===> ( °° ) ? Dann ist der Term a / t ² sicher vernachlässigbar. Substituiere


          z  :=  ln  (  t  )   ===>  (  °°  )        (  2a  )

        t  =  exp  (  z  )      (  2b  )

          ln  (  t  )  /  t  ²  =  z  exp  (  -  2  z  )  ===>  0      (  2c  )


     Und zwar begründe ich ( 2c ) damit, dass die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt. Damit steht aber fest


            0  <  t0  <  t  (  max  )  <  t  (  w  )       (  3  )


      So; jetzt sieht das schon mal nach was aus.

    Die Quotientenregel ( QR ) ist ABSOLUT TÖDLICH .

   Ihr müsst sie MEIDEN WIE DIE PEST .

   Ich hypnotisiere dich jetzt; wenn ich bis Zehn zähle, kannst du dich an das Wort QR nicht mehr erinnern.

  Aktion Bremer Stadtmathematiker: " Etwas Besseres als die QR werden wir überall finden. "

   Häufig ruft sie psychotische Zustände hervor und verwirrt die Zusammenhänge, statt sie zu erhellen. Z.B. ist sie ungeeignet, etwas über den speziellen Typ einer Kurve in Erfahrung zu bringen; wenn Matematik so etwas wie geistige Klarheit anstrebt, reißt  dich die QR weit eher in Morast und Dornengestrüpp. Ihr wesentlicher Nachteil kst die falsche Asymptotik; so hat z.B. die Ableitung eines Pols der Ordnung 4 711 einen Pol der Ordnung 4 712 . Dagegen der Nenner v ² der QR täuscht einen Pol der Ordnung 2 * 4 711 = 9 422 vor.

   Als Erstes schaffen wir hier nämlich den Nenner weg und wenden die Metode des ===> impliziten Differenzierens an; genau so machen das nämlich gebildete Leute.


        t  ²  y  =  a  +  ln  (  t  )       (  4a  )


      Jetzt Produktregel


     2  t  y  +  t  ²  y  '  =  1 / t     (  4b  )


     Implizit heißt diese Technik, weil nirgends nach y aufgelöst wird; in ( 4b ) wird sang-und klanglos gesetzt y ' = 0


         2  t  ³  y  =  1      (  4c  )


    Hier das ist doch Mega elegant; was sich hier anbietet, ist das Gleichsetzungsverfahren ( 4a;c )


        a  +  ln  (  t  )  =  1/2   ===>  t  (  max )  =  t0  sqr  (  e  )     (  5  )


    (  vgl. ( 1 ) , wir haben hier strenge Proportionalität zwischen Nullstelle und Maximum. )

   An sich bin ich ja fertig; ich möchte dir nur vorführen, wie normale Menschen die 2. Ableitung nachprüfen würden. Es gibt nämlich die sog.  Leibnizregel, siehe Courant Band 2 , eine verallgemeinerte Produktregel, die uns sogar noch ermöglichen würde, die 4 711. Ableitung von ( 4a ) zu notieren. Die QR hat da bis Heute nichts Vergleichbares zu bieten. Diese Technik ist ganz analog den ===> Binominalkoeffizienten des binomischen Lehrsatzes. Für 2. Ableitung wäre das



              (  u  v  )  "  =  u  "  v  +  2  u  '  v  '  +  u  v  "      (  6a  )


      In ( 4a ) wäre das 


       2   y  +  4  t  y  '  +  t  ²  y  "  =  -  1 / t ²     (  6b  )

     2  f  (  max  )  +  t  ²  (  max  )  f  "  (  max  )  =  -  1 /  t  ²  (  max  )         (  6c  )


    Der zweite Term in ( 6b ) leistet ja keinen Beitrag für ( 6c ) wegen Extremum. Aber in ( 6c ) sehen wir bereits alles, was wir wissen müssen. Da wir sicher sind, dass f ( max ) positiv, folgt aus ( 6c ) , dass die 2. Ableitung negativ sein muss.

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