Berechnung Grenzwert mit x gegen 1. lim x->1 (1/ln(x))+(1/(1-x))

Question

Wie berechne ich den Grenzwert folgender Funktion:

lim x->1  (1/ln(x))+(1/(1-x))

Answer 1

lim x-->1 1/LN(x)-1/(x-1)

LN(x)≈ (x-1)-1/2*(x-1)^2

=lim x-->1  1/[(x-1)-1/2*(x-1)^2] -1/(x-1)

= lim x--> 1   -2/[(x-1)*(x-3)] -1/(x-1)

=lim x--> 1  -1/(x-3) =1/2

Answer 2

lim x->1  (1/ln(x))+(1/(1-x))

= lim x->1  ((1-x)+ln(x))/ (ln(x) * (1-x))      | Hospital

= lim x->1  (-1 + 1/x) / ( (1/x)*(1-x) + ln(x)* (-1))  

= lim x->1  (-1 + x^{-1}) / ( (1/x - 1 - ln(x))       | Hospital

= lim x->1 ( 0 -x^{-2} ) / (-x^{-2} - 0 - 1/x)      | x=1 einsetzen

= (- 1^{-2} /( -1 ^{-2}  - 1 ) 

= -1 / (-2) 

= 1/2 

Answer 3

Du hast hier den Ausdruck  ∞ +∞ .In diesen Fällen bilde den Hauptnenner.

Wende danach 2 mal L'Hospital an .(Zähler und Nenner getrennt ableiten)

Das Ergebnis ist 1/2