Grenzwert (x(x+a))^{1/2}-x

Question

Gesucht ist der Grenzwert von

g = lim x -> +unendlich √(x*(x+a))-x

Wie genau berechnet man das?

Answer 1

lim (x --> ∞) √(x^2 + ax) - x

lim (x --> ∞) (√(x^2 + ax) - x)*(√(x^2 + ax) + x)/(√(x^2 + ax) + x)

lim (x --> ∞) ((x^2 + ax) - x^2)/(√(x^2 + ax) + x)

lim (x --> ∞) (ax)/(x√(1 + a/x) + x)

lim (x --> ∞) a/(√(1 + a/x) + 1) = a/(√(1 + 0) + 1) = a/2

Answer 2

sqrt(x*(x+a))-x=sqrt(x^2*(1+a/x))-x=x*sqrt(1+a/x)-x

lim x--> ∞ x*sqrt(1+a/x)-x) = lim z--> 0 1/z*sqrt(1+az)-1/z

=lim z--> 0 1/z*(1+1/2a*z)-1/z=lim z--> 0 a/2=a/2

Comments

>  lim_z→o  1/z*sqrt(1+az)-1/z   =   lim_z→o 1/z*(1+1/2a*z)-1/z

Die Aussage an sich ist natürlich richtig (weil der erste Grenzwert a/2 ist, was du aber an dieser Stelle noch nicht weißt) , aber wie begründest du diesen Übergang?

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Das das Ergebnis a/2 ist wusste ich doch gar nicht vorher -.-

Die Begründung ist Taylorentwicklung des Terms sqrt(1+az) an der Stelle z=0.

sqrt(1+az)≈1+1/2*a*z

Ich wollte ja nur einen anderen Lösungsweg zeigen ....

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> Die Begründung ist Taylorentwicklung des Terms sqrt(1+az) an der Stelle z=0.

Dachte ich mir schon, weil du das schon öfter so gemacht hast :-)

Aber der Fragesteller hat deine anderen diesbezüglichen Antworten wohl kaum gelesen. Man sollte es ihm also wohl mitteilen.

So wie es dasteht könnte jemand auf die falsche Idee kommen, dass man  az durch a/2 * z  ersetzen kann, weil "ja sowieso beides gegen 0 geht".

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Ja, früher hab ich die Begründung meistens mit hingeschrieben. Da mach ich das jetzt am besten immer, damit es klar verständlich ist.

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Nur als Info (weißt du ja vielleicht auch):

Wenn du im Textmodus oben links auf  Ω  klickst, findest du u.v.a. ein Wurzelzeichen  √