Komplanarität von Vektoren großes Problem

Question

Ich habe ein Problem und zwar soll ich herausfinden ob die Vektoren a,b und c komplanar sind.

a=(2,7,2) b=(1,2,1) c=(2,-1,1)

Also 0=r*a+s*b+t*c hierbei kommt bei mir a=b=c=0 raus. wie bei jeder Aufgabe die ich mit dieser Formel berechne.

Das kann doch aber nicht sin der Sache sein das immer 0 rauskommt oder?

Frustriert mich gerade richtig.

Meine Lösung ist laut Lösungsbuch auch nicht richtig dort steht nur.

(1,7,2)=3*(1,2,1-(2,-1,1)...Und Sie benutzen auch nicht die Formel von oben obwohl ich sie benutzen soll

Wäre nett wenn mir mal einer erklären könnte wie ich mit diesen Formeln umzugehen habe.

LG Sara

Answer 1

r·[2, 7, 2] + s·[1, 2, 1] = [2, -1, 1]

Nehmen wir die ersten beiden Zeilen

2r + s = 2

7r + 2s = -1

Und lösen dieses Gleichungssystem erhalten wir: r = - 5/3 ∧ s = 16/3

Wir setzen es ein

-5/3·[2, 7, 2] + 16/3·[1, 2, 1] = [2, -1, 2] ≠ [2, -1, 1]

Damit sind die Vektoren linear unabhängig bzw. nicht komplanar.

Comments

Deine Formel ist eigentlich die richtige

0 = r·a + s·b + t·c

Das Problem für Schüler ist, natürlich ist r = s = t = 0 immer eine Lösung. Linear unabhängig bedeutet wenn dieses die einzige Lösung ist. 

Meine Formel die ich oben benutzt habe ist nicht immer richtig. Wann z.b. nicht

r*[0, 0, 0] + s*[1,2,3] = [4, 5, 6]

r*[1, 2, 3] + s*[2,4,6] = [4, 5, 6]

Bei diesen Gleichungen gibt es keine Lösung, trotzdem sind die Vektoren linear abhängig. Versuche zu ergründen warum, das so ist und gib dann an was du bei der Anwendung meiner Formel beachten musst.

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Ok verstehen tue ich aber nun gerade garnix mehr ;(

LAut meinem Lösungsheft müsste allerdings eine komplanarität vorliegen

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Dann liegts an deiner Aufgabenstellung

"a=(2,7,2) b=(1,2,1) c=(2,-1,1)"

du hast hier wohl den Vektor a verkehrt angegeben.

Beachte. Wenn die Aufgabe falsch gestellt wird ist es unwahrscheinlich, dass das richtige Ergebnis heraus kommt.

Aber du kannst es mal versuchen mit dem Richtigen a zu rechnen. Dann siehst du es.

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r·[1, 7, 2] + s·[1, 2, 1] = [2, -1, 1] 

Nehmen wir die ersten beiden Zeilen

1r + s = 2

7r + 2s = -1

Wenn du dieses Gleichungssystem löst kommt r = -1 ∧ s = 3 heraus. Das setzt du ein.

-1·[1, 7, 2] + 3·[1, 2, 1] = [2, -1, 1] 

Und dann stimmt auch das Ergebnis. Die Vektoren sind komplanar.

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Ohh ja war ein Fehler von meiner Seite aus sorry:)

Aber was sagt mir eine triviale Lösung wenn  dann doch a=b=c=0 eine Komplanarität vorliegt ?

Mich verwirrt es nur immer das ich diese Formel nutzen soll und dann doch falsch liege

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Du darfst nicht nach der Triviallösung ausschau halten weil es die immer gibt. Interessant sind also die anderen Lösungen die nicht trivial sind. Das problem ist, dann bleiben unbekannte in der Gleichung stehen mit denen sich die Schüler schwer tun. Daher empfehle ich meist die Verwendung meiner Formel. Allerdings muss man wissen wann sie eben nicht funktioniert.

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Ich tue mich normalerweise mit so etwas nicht schwer, mein Problem liegt nur darin z verstehen für was diese Formel dann überhaupt da ist, bzw. für was man sie dann benutzt

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Mit dem Ansatz wird untersucht, ob es möglich ist, den Nullvektor auf nichttriviale Weise durch die drei angegebenen Vektoren linear zu kombinieren. Das ist genau dann der Fall, wenn der Ansatz auch nichttriviale Lösungen besitzt.

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Mit deiner Formel rechnest du

r·[1, 7, 2] + s·[1, 2, 1] + t·[2, -1, 1] = [0, 0, 0]

r + s + 2t = 0

7r + 2s - t = 0

2r + s + t = 0

II - 2*I ; III - I

5·r - 5·t = 0

r - t = 0

Da diese Zeilen linear abhängig sind kann ich eine streichen

r - t = 0 --> r = t

t + s + 2t = 0 --> s = - 3·t

Die Gleichung hat also unendlich viele Lösungen. In abhängigkeit von t sind die Lösungen

r = t

s = - 3·t

t = t

Damit gibt es nicht nur die Triviallösung t = 0 sondern eben auch andere. Und damit sind die Vektoren komplanar.

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Ok ich habe es verstanden danke schön

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Genau. Dann kannst du allerdings nicht t frei wählen sondern dann sollte es auf t = 0 hinaus laufen.

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Und wie tue ich dies dann?

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Das Ganze läuft immer auf das lösen eines linearen Gleichungssystems hinaus. 

Schnapp dir ein paar Übungsaufgaben und löse die mal

http://www.dk4ek.de/mathematik/vektor_u.pdf

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Ok.. die ersten Aufgaben waren kein Problem bis auf 1 c

Hier komme ich gar nicht klar. Wenn ich a=r*b+s*c rechne komme ich immer auf 0...

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Bei 1c) Solltest du schon sehen das a und b linear abhängig sind. Dann können die 3 Vektoren schon nicht mehr linear unabhängig sein.

Sind von 3 Vektoren bereits 2 linear abhängig dann sind auch alle 3 linear abhängig.

Hier brauchst du gar nichts mehr machen.

Es gilt auch 

-5*[1,1,1] + 0*[2,2,2] = [-5,-5,-5]

Das ist hier aber nicht die einzige Lösung.

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Achso

Aber wenn ich nun ein gleichungssystem aufstelle a=r*b+s*c

dann kann ich es ja kaum lösen denn ich müsse ja 2 Gleichungen subtrahieren und dann würde es 0 ergeben oder rechne ich nur falsch?

Das was du geschrieben hast verstehe ich :) Mir geht es nun drum wie ich dieses system löse ohne zu sehen das a^b kollinear sind 

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a=r*b+s*c

Man sieht doch auch hier bereits, dass

a = 1/2*b + 0*c

Es ist aber wesentlich einfacher zu sehen ob zwei Vektoren kolinear sind anstatt das drei Vektoren komplanar sind.

Daher solltest du zunächst prüfen ob drei gegebene Vektoren paarweise kolinear sind.

Rechnen braucht man in diesem Schritt nichts. Das sollte man eigentlich sofort erkennen.

Answer 2

Drei Vektoren v₁, v₂ uns v₃ des R³ liegen in der gleichen Ebene (sind komplanar), wenn sich einer von ihnen als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt, wenn es also Zahlen i und j gibt, sodass iv₁+jv₂=v₃ ist. Dann ist natürlich auch der Nullvektor n nichttrivial darstellbar. iv₁+jv₂-v₃=n.

Comments

Ok das verstehe ich :) Also dürfte ich nicht mit dieser Formel rechnen a=b=c=0 da dort immer 0 raus kommt?