Question

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von 7*sqrt(2x+5)+2x=0

hi:)

bräuchte hier bei mal eure Hilfe.

ich komme leider nicht auf die Lösung : L={(49/4)-(1/4)*√3381}

mfG

Amvie

Answer 1

7·√(2·x + 5) + 2·x = 0

7·√(2·x + 5) = -2·x

49·(2·x + 5) = 4·x^2

98·x + 245 = 4·x^2

4·x^2 - 98·x - 245 = 0

x = 49/4 - 7/4·√69 (Zweite Lösung ist lediglich eine Scheinlösung)

Comments

Warum ist die zweite Lösung nicht im definitionsbereich?

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Weil dann in der ersten Zeile zwei positive Zahlen addiert werden und das zusammen nicht 0 geben kann.

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Okay aber streng genommen ist die zweite Lösung nicht unzulässig, weil eine negative Wurzel oder so rauskommt, sondern sie führt bloß nicht zu richtigen Ergebnis, oder?

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Sie gehört nicht zur Lösungsmenge und ist daher keine Lösung der gegebenen Gleichung.

Aufgrund des Rechenweges hat sie sich ergeben. Grund: Der Rechenweg bestand nicht nur aus Äquivalenzumformungen.

Es handelt sich um eine sogenannte Scheinlösung, die man streichen muss.

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Durch das quadrieren bekommt man eventuell Lösungen dazu die vorher keine waren.

Bsp.

√x = -1

gibt es in der obigen Gleichung eine Lösung ? Ich glaube nicht. Was passiert wenn wir beide seiten quadrieren.

x = 1

Nanu. Jetzt scheint es da eine Lösung 1 zu geben. Wenn wir die aber in die Ausgangsgleichung einsetzen sehen wir das dieses keine wirkliche Lösung ist. Es schien also nur so.

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Danke für die Erklärung. Das verstehe ich soweit. Dennoch ist doch die zweite Lösung in der vorliegenden Aufgabe nicht durch den Definitionsbereich ausgeschlossen sondern es ist lediglich keine funktionierende Lösung. Oder sehe ich das falsch. Eine Zahl die nicht im definitionsbereich liegt, wäre doch z.B. -3, oder?

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Ja. Ist eventuell missverständlich. Ich korrigiere das.

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Ah super. Wollte nur sicher gehen, dass ich das richtig verstanden habe.

Answer 2

√(2x+5)=-2x/7

2x + 5 = 4x^2/49

4x^2/49-2x -5 = 0

x^2 - 98/4*x - 245/4 = 0

x₁₂= 49/4 ± √(2401/16+980/16)

      = 49/4 ± √ (3381/16)

x₁ = 49/4 + 1/4*√3381

Edit (nach Kommentar von Lu): Die Probe zeigt, das x₁ eine Scheinlösung ist. Die einzige Lösung ist x₂.

x₂ = 49/4 - 1/4*√3381

Comments

@koffi123. Aufgrund der Diskussion unter der Antwort von Mathecoach müsstest du nun x_(1) als Scheinlösung identifizieren und streichen.

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Hast Recht, danke, habe es ergänzt.

Answer 3

7*sqrt(2x+5)+2x=0 |-2x

7*sqrt(2x+5)=-2x |(..)^2

49(2x+5)=4 x^2

98x +245 =4 x^2

 - 4 x^2 +98x +245 =0 --PQ- Formel |:(-4)

x^2 -98/4 *x- 245/4=0

x_1.2= 98/8 ±√(9604/64 +3920/64)

x_1.2= 98/8 ±√(13524/64)

x_1.2= 49/4 ±√(13524/64)

x_1.2= 49/4 ±√(13524)/8)

x_1.2= 49/4 ±√(4 *3381)/8)

x_1.2= 49/4 ±√(3381)/4)

Probe durchführen

Lösung:

x₁= 49/4 -√(3381)/4)