Betriebsminimale Ausbringungsmenge größer als die Ausbringungsmenge im Wendepunkt?

Question

Die Aufgabe lautet :
Viele Faktoren wirken auf die Kostenentwicklung eines Produktes ein. Diese werden durch den Parameter x ∈ R mit a ≥ 0 in Ka beschrieben. Ka(x)= ax³ - 71/6x²+610x+50000
Zeigen Sie, dass für alle Ka die betriebsminimale Ausbringungsmenge größer ist als die Ausbringungsmenge im Wendepunkt.

Answer 1

K(x) = a·x^3 - 71/6·x^2 + 610·x + 50000

Kv(x) = a·x^3 - 71/6·x^2 + 610·x

kv(x) = a·x^2 - 71/6·x + 610

kv'(x) = 2·a·x - 71/6 = 0 --> x = 71/(12·a) --> Betriebsminimale Ausbringungsmenge

K(x) = a·x^3 - 71/6·x^2 + 610·x + 50000

K'(x) = 3·a·x^2 - 71·x/3 + 610

K''(x) = 6·a·x - 71/3 = 0 --> x = 71/(18·a) --> Ausbringungsmenge im Wendepunkt

71/(12·a) > 71/(18·a) --> ist für positive a natürlich erfüllt.