Taylorpolynom 5. Ordnung mehrdimensional

Question

Im Physikstudium muss ich Taylorpolynome bis zum 5. Grad berechnen können. In der Prüfung hat man allerdings nicht ansatzweise genug Zeit, um alle Ableitungen auszurechnen, da es sich um sehr schwierige Funktionen handelt.

Ich habe gelesen, dass man Teile der Funktionen in Reihen umwandelt und dann die ersten Glieder bestimmt. Allerdings kann ich nicht immer eine Reihe erkennen...

Wie kann man also, ohne jede Ableitung einzeln zu berechnen, am besten ein Taylorpolynom höherer Ordnung (also größer als 2) "berechnen"?

In der Klausur kam folgende Aufgabe dran:

Geben Sie das Taylorpolynom 5. Ordnung von

f(x,y)=sin(y)/(√(1+x²y²))

um (0,0) an.

Die Lösung, die mir viel zu gering erklärt ist, lautet:

f(x,y)=(y-1/6*y³+1/120y⁵+-...) (1-1/2x²y²+-...)=y-1/6y³+1/120y⁵-1/2x²y³

Ich bin dankbar für jegliche Hilfe!

P.S. Auf die erste Klammer (?) kommt man, indem man den sin(y) durch seine Reihe ersetzt und die ersten Glieder einsetzt.

Answer 1

bei mehrdimensionalen Funktionen kann man trotzdem bekannte Taylorentwicklungen von eindimensionalen Funktionen verwenden.

In der ersten Klammer wurde die Reihenentwicklung von sinh(y) verwendet.

In der zweiten Klammer wurde die Reihenentwicklung von √(1+z ) verwendet, wobei hier z=x^2*y^2

Danach multiplizierst du die Klammern miteinander und streichst alle Terme die vom Grad höher als 5 sind, z.B ergäbe sich ja 1/120*y^5*(-1/2)*x^2*y^2, aber das wird gestrichen, weil Grad 9

Beachte, das deshalb der sinh bis zur 5.ten Potenz in y entwickelt wurde, währenddessen bei der Wurzel nur z bis zum linearen Term genutzt wird.