die komplexe Fortsetzung des Sinus ist definiert durch:
\(sin(z):=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})\)
Skizziere die Wirkung der komplexen Sinusfunktion auf das Quadrat Q={\(x+iy|0\leq x,y\leq \frac{pi}{2}\)}\(\subset\mathbb{C}\)
Welche Eckwinkel bleiben erhalten?
Kannst ja mal erst ein paar Werte ausrechnenA bis D sind Quadratecken.sin(0) = 0 sin(a + 0*i) = sin(a) also wird das Stück der reellen Achse von 0 bis pi/2 abgebildet auf das Stück von o bis 1.sin(pi/2 + a*i ) = cosh(a) Also wird auch die Quadratseite von pi/2 bis pi/2 + pi/2 * i auf die reelleAchse abgebildet und zwar von cosh(0)=1 bis cosh(pi/2) ungefähr gleich 2,5 .Also wird aus dem 90°-Winkel bei pi/2 schon mal ein 180°-Winkel.Dann weiter von pi/2 + pi/2 * i bis 0 + pi/2 * i alsosin ( a + pi/2 * i ) = sin(a)*cosh(pi/2) + i * cos(a) *sinh(pi/2) also wird die Strecke von C nach D auf eine gebogene Linievon cosh(pi/2)+0*i bis 0+sinh(pi/2) * i abgebildet.und die letzte Quadratseite von D nach A , alsoPunkte von der Art 0 + i*a werden abgebildet auf0 + sinh(a)*i , bleiben also auf der imaginären Achse,somit bleibt bei A' der 90°-Winkel
Ein anderes Problem?
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