Finanzmathematik: Wie hoch sind die jährlichen Raten und die zusätzliche Auszahlung?

Question

Ich habe Probleme bei der folgenden Aufgabenstellung, ich weiß nicht was da von mir verlangt wird und wie ich das ausrechnen soll! Vielen !

Ich habe eine Jahresrente, die über 10 Jahre läuft mit einem Barwert von 10.000 € und einer jährlichen Verzinsung von 4%. Ich will die Auszahlung meiner Rente auf Hunderten genau und die Beträge, die darüber hinausgehen sollen mit der letzten Rate ausgezahlt werden.

Die Fragen lauten nun: 1) Wie hoch sind die jährlichen Raten?

                                           2) Auf welchen Betrag beläuft sich die zusätzliche Auszahlung?

Danke, danke!!

Answer 1

Bv = R·(q^n - 1)·q/((q - 1)·q^n)

R = Bv·q^{n - 1}·(q - 1)/(q^n - 1)

R = 10000·1.04^{10 - 1}·(1.04 - 1)/(1.04^10 - 1) = 1185.49 €

Wenn ich das auf Hundert abrunde erhalte ich 1100 €.

Bv = R·(q^n - 1)·q/((q - 1)·q^n)

Bv = 1100·(1.04^10 - 1)·1.04/((1.04 - 1)·1.04^10) = 9278.86 €

10000 - 9278.86 = 721.14 €

721.14·1.04^10 = 1067.46 €

Die zusätzliche Auszahlung beträgt etwa 1067.46 €.

Comments

danke für deine Antwort, ich habe nur ein paar Fragen: Wofür steht Bv und wofür steht das R ??

Erhalte ich dann jedes Jahr immer 1100 € bis auf das zehnte Jahr, ist das richtig? Und was hast du hier ausgerechnet?

Bv = 1100·(1.04¹⁰ - 1)·1.04/((1.04 - 1)·1.04¹⁰) = 9278.86 € 

Bekomme ich dann im 10. und letzten Jahr 1067.46 €? Wieso ist das niedriger als 1100€??

Vielen Dank für deine Hilfe!!

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Bv Das ist der Barwert bei vorschüssiger Zahlung

R ist die jährliche Rate

Im letzten Jahr erhältst du 1100 € regulär plus die zusätzlichen angesammelten 1067.46 €

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Nur damit ich das jetzt richtig verstanden habe: Ich zahle 10.000 € vorschüssig, also am Anfang des Jahres und dann muss ich nichts mehr zahlen, oder?

Und was wurde hier ausgerechnet? Das verstehe ich noch nicht ganz...

Bv = 1100·(1.04¹⁰ - 1)·1.04/((1.04 - 1)·1.04¹⁰) = 9278.86 € 

Aber wenn ich meine Auszahlung am Ende des Jahres haben will und die nur in Hunderten, dann kommt der letzte Betrag wieder auf mein Konto und das wird ja nochmal verzinst. Geht das mit den Formeln dann trotzdem? Müsste ich nicht immer mehr am Ende des Jahres bekommen?

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Woher die 10000 Euro kommen ist doch völlig egal. Vielleicht hast du die Rente mit diesem Barwert auch geschenk bekommen.

Bv = 1100·(1.04¹⁰ - 1)·1.04/((1.04 - 1)·1.04¹⁰) = 9278.86 €  

Hier berechne ich offensichtlich den Barwert einer Rente bei 10 jähre lang vorschüssig 1100 € ausgezahlt werden.

 die Beträge, die darüber hinausgehen sollen mit der letzten Rate ausgezahlt werden. 

mit den Beträgen sind sicher alle Beträge gemeint. und die Brauchen nicht in Hunderten ausgezahlt werden.

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Ja aber im ersten Jahr bekomme ich 1100€ und die restlichen 85,49€ bleiben ja auf meinem Konto und werden ja wieder verzinst, oder?

Und warum rechnest du den Barwert aus, wenn er doch schon 10.000€ beträgt?

Und noch eine letzte Frage. Bekomme ich die Rente am Anfang oder am Ende des Jahres?

Vielen Dank für deine Hilfe!

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Ich habe mit Bv also einer Vorschüssigen Rente gerechnet. Wenn du Taschengeld für 1 Jahr bekommst dann möchtest du sicher das Geld im Voraus haben.

Wenn ich also Auszahlungen für ein Jahr habe ist es geschickt diese am Anfang zu haben. Wenn ich jedoch Einzahlungen mache dann sammel ich über ein Jahr und tätige die Einzahlung am Ende.

Aufgabentechnisch kann davon abgewichen werden. Wenn es unklar ist was gemeint ist dann treffe selber eine Entscheidung. Da ich Bv benutze wüsste meine Lehrerin, dass ich mit einer vorschüssigen Rente rechnen möchte.

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1) Also könnte ich die Rente theoretisch auch am Ende bekommen, oder? Wie ginge die Rechnung denn dann? Gleich?

2)Ja aber im ersten Jahr bekomme ich 1100€ und die restlichen 85,49€ bleiben ja auf meinem Konto, was dann 10.085,49€ macht, und werden ja wieder verzinst, oder? Da müsste ich jedes Jahr mehr bekommen, nicht? 

3)Und worin liegt der Unterschied zwischen 10.000€ und 9278.86 € Ich kapier das noch nicht ganz..Wo ist das Geld denn hin?

Vielen vielen Dank!

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Die 9278.86 € ist die Differenz der Barwerte einer Rente wo 1185.49 € und 1100 € ausgezahlt werden. 

Also quasi der Barwert aller Auszahlungen von 85.49 €

Da sich alle diese Auszahlungen die ja nicht gemacht werden und einmal nur zum Ende der 10 Jahre gemacht werden muss ich diesen Wert auf den Endwert der Rente bringen.

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Da sich alle diese Auszahlungen die ja nicht gemacht werden und einmal nur zum Ende der 10 Jahre gemacht werden muss ich diesen Wert auf den Endwert der Rente bringen.--> Wie, die Auszahlungen werden nicht gemacht? Bekomme ich kein Geld am Anfang des Jahres? 
Ja aber im ersten Jahr bekomme ich 1100€ und die restlichen 85,49€ bleiben ja auf meinem Konto, was dann 10.085,49€ macht, und werden ja wieder verzinst, oder? Da müsste ich jedes Jahr mehr bekommen, nicht? 

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Dir werden jedes Jahr 1100 Euro ausgezahlt. 10 Jahre lang. Alles weitere bleibt auf dem Konto und wird weiterverzinst. Erst nach 10 Jahren wird das angesammelte Geld mit einer weiteren Zahlung bzw. mit der Letzten Zahlung von 1100 Euro ausgezahlt.

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Jetzt hab ich das endlich verstanden, vielen Dank nochmals! Ich hab nur noch eine kurze Frage: Wenn ich das ganze nachschüssig bekomme, wäre die Rechnung dann ganz anders?

Danke nochmals!!

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Nein. Du nimmst dann nur die Formel für die Nachschüssige Zahlung.

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Und die wäre dann welche? Danke für deine Hilfe!!

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Muss man viele andere Formeln verwenden, wenn man die Rechnung anstatt vorschüssig nachschüssig rechnet? Wie ginge dann die Rechnung? Danke für die Hilfe!!

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Es ist eine Formel die anders ist.

Statt der Formel

Bv = ...

für die vorschüssige Zahlung verwendet man dann

Bn = ...

für die nachschüssige Zahlung. Mehr ist das nicht. Probier das ruhig selber mal.

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Und die Formel, die nach Bn folgt, ist dann dieselbe? Kann ich das ausrechnen und Sie dann fragen, ob das stimmt? Das wäre sehr nett, dankeschön!

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Nur so eine Frage: Wenn ich 10.000€ habe mit einem Zinssatz von 4%, müsste ich jährlich 400€ und nicht 1100 bekommen. Ist da vielleicht etwas falsch?

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Wenn du dir nur die Zinsen nimmst bleiben ja immer 10000 Euro stehen. Es geht hier aber um eine Rente. Die 10000 sollen ja auch aufgebraucht werden.

Kannst du dir mal eine Excel-Tabelle machen ?

Vielleicht wird dir das dann klarer ?

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Das bedeutet dann, dass ich danach, also am Ende des zehnten Jahres den Rest ausgezahlt bekomme und dann gar kein Geld mehr auf dem Konto habe, dann ist ja alles weg. Ich will am Ende des 10. Jahres meine 10.000 aber noch besitzen, oder?

Ich habe schon per Hand eine Tabelle gemacht, wo ich die Jahre einzeln gerechnet habe.

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"Ich will am Ende des 10. Jahres meine 10.000 aber noch besitzen, oder?"

Dann hast du komplett den Sinn der Rentenrechnung nicht verstanden.

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung

In der Rentenrechnung geht es darum periodisch auftretende Zahlungen in Barwerte oder Barwerte in periodische Zahlungen umzuwandeln.

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Nein, ich habe das Prinzip schon verstanden, aber in der Aufgabenstellung steht ja gar nicht, dass meine 10.000€ auch ausgezahlt werden müssen. Ich habe verstanden, dass ich nur die Zinsen am Ende oder Anfang des Jahres ausgezahlt bekomme! Oder hab ich etwas übersehen?

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"Ich habe eine Jahresrente, die über 10 Jahre läuft mit einem Barwert von 10.000 € und einer jährlichen Verzinsung von 4%."

Es geht hier um eine Rentenzahlung mit einem Barwert und Verzinsung. Damit sollen die 10000 Euro auch mit ausgezahlt werden.

"Ich will die Auszahlung meiner Rente auf Hunderten genau und die Beträge, die darüber hinausgehen sollen mit der letzten Rate ausgezahlt werden. "

Die Rentenzahlungen sollen dabei auf 100 abgerundet werden und der Restbetrag dafür mit der letzten Rente ausgezahlt werden.

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Du hast mir wirklich sehr geholfen, und ich habe nur noch zwei letzte Fragen: Du machst ja die Differenz der Barwerte

10000 - 9278.86 = 721.14 €

und benutzt in Deinem letzten Schritt wieder die Zahl 721.14 €. Was genau gibt diese an?

Letzte Frage: Wo hast du den Wert auf den Endwert der Rente gebracht und mit welcher Formel?

"Da sich alle diese Auszahlungen die ja nicht gemacht werden und einmal nur zum Ende der 10 Jahre gemacht werden muss ich diesen Wert auf den Endwert der Rente bringen."

Vielen vielen Dank!

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Die 721.14 € sind die Differenz der Renten-Barwerte. Also die Differenz zum momentanen Zeitpunkt. Aber mich interessiert die Differenz ja nicht zum heutigen Zeitpunkt sondern erst in 10 Jahren, wenn die Auszahlung ansteht. Also muss ich diese Differenz noch über 10 Jahre aufzinsen.

721.14·1.04¹⁰ = 1067.46 € 

Das ist eine ganz normale Zinsformel für die Kapitalverzinsung mit Zinseszinsen nach einer Anzahl von Jahren.

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Kann ich noch etwas fragen? Ich würde gerne die Rechnung nachschüssig machen. Stimmt es, wenn ich die Formel für die nachschüssige Barwertrente verwende und dann dieselben Schritte wie Du machst? Ich bin wirklich hoffnungslos und habe keine Ahnung wie ich das ausrechnen muss. Ich habe sehr wenig Erfahrung mit Finanzmathematik.

Welche Formel muss ich dann verwenden, im Internet stehen so viele verschiedene!

 Wie muss ich sie dann umstellen?  Muss ich für n dann 9 statt 10 hernehmen?

Sind meine Überlegungen ganz falsch?

Danke, ich wüsste nicht, was ich ohne Deine Hilfe täte!

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Auf Wikepedia findest du die nötigen Formeln.

https://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung

Vielleicht solltest du das zunächst mal einfach für 3 Jahre machen. Also Radikal vereinfachen. Mal es dir auch auf. Also eine Zeitachse in der du die Zahlungen einträgst. Dann kannst du auch jede einzelne Zahlung auf den Barwert bringen. Das bringt denke ich mehr als wenn du gleich mit Formeln rechnest die du nicht verstehst. Und dann rechnest du es auch mit den Formeln. Aber erst wenn du das ergebnis bereits kennst.

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Was für einen Unterschied macht es, wenn ich das für 3 oder 10 Jahre mache? Wie soll ich bitte das Ergebnis kennen, wenn ich nicht weiß, wie ich das mit den Formeln rechnen muss?

Stimmt es, wenn ich zuerst die Formel für die nachschüssige Barwertrechnung nehme und dann die gleichen Schritte wie Du??

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Wenn du 3 Jahre rechnest, dann kannst du das auch alles ganz ohne Formeln rechnen. Dann bekommst du ein gefühl für das was passiert. Das könnte man zwar bei 10 Zahlungen auch noch machen aber das artet dann schon mehr in Arbeit aus. Die Formeln benutzt man eben um sich die Arbeit zu sparen.

Trotzdem ist es hilfreich es auch ohne Formeln zu können damit man es versteht. Und dann kann man sich letztendlich auch die Formeln selber herleiten.

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Und wie soll ich das dann rechnen? Irgendwas muss ich ja machen, wenn ich irgendeine Lösung haben möchte.

Kannst du mir zeigen, nur für das erste Jahr, wie das ablaufen soll? Dann weiß ich wenigstens wie ich das für das zweite und dritte Jahr machen muss.

Dankeschön

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Gut, also ich habe das Ganze gemacht und würde bitte wissen wollen, ob das so stimmt!

B_n= r• (qⁿ-1)/((qⁿ•(q-1))

Das Ganze nach r umstellen und dann kommt raus: 1232,91€. Abgerundet auf Hundert wäre das dann 1200€.

Dann setze ich die 1200€ in die oberste Gleichung ein und erhalte: 9733,07€

Dann 10.000-9733,07= 266,93€

266,93• 1,04¹⁰= 395,11€ Das wäre dann die zusätzliche Auszahlung!

Könnt ihr mir bitte sagen, ob das so stimmt?