Verständnisfrage: Mächtigkeit von Menge / Äquivalenzrelation

Question

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_M%C3%A4chtigkeit_von_Mengen#Vertiefung_zum_Thema_M.C3.A4chtigkeit

Nachdem gezeigt wurde, das bei einer bijektive Abbildung zweier Mengen, die Mengen in Relation zueinander stehen und es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt, kommt folgender Satz:

Da die obige Relation eine Äquivalenzrelation ist, zerfällt jede Menge von Mengen unter dieser Relation in Äquivalenzklassen. Man kann also jede Menge von Mengen so in disjunkte, nicht-leere Teilmengen zerlegen, dass alle Mengen der gleichen Mächtigkeit in einer dieser Teilmengen zusammengefasst sind.

z.B.:
f: R^{+}->R^{+}: x↦x^2

Wie kann man sich die Äquivalenzklassen nun vorstellen?
Sind es einfach verschiedene Mengen von Tupeln, als  B⊆R^{+}×R^{+} z.B. (1,1), (√2,2)... für die, die Relation zutrifft aufgeteilt in verschiedenen Äquivalenzklassen, müssten nicht alle Tupel in einer Klasse zusammengepackt sein, schließlich erfüllen alle Elemente der beiden Mengen die Relation? Hat jemand ein besseres Beispiel?

Ist das so gemeint, dass alle Mengen mit gleicher Mächtigkeit in einer einzigen Äquivalenzklasse zusammengefasst sind, dann müssten diese Mengen doch auch alle dieselbe Äquivalenzrelation erfülle. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das immer für jede Menge der Fall ist. Was verstehe ich falsch?

Ich habe nicht das Gefühl, diesen Abschnit aus dem obigen Artikel verstanden zu haben, vlt. kann mir jemand meine Fragen beantworten :)

Answer 1

Alle Elemente A,B  in einer Klasse sind diejenigen, bei denen es eine

Bijektion f:A--> B gibt.  In deinem Beispiel f: R⁺->R⁺: x↦x²

hieße das nur:   R+ und R+ sind in der gleichen Klasse , also  beide

gleichmächtig, das ist eh trivial, da es beides die gleiche Menge ist.

Spannender ist das etwa im Fall der beiden Mengen 
No = Menge aller natürlichen Zahlen inclusive 0 und

N* = Menge aller natürlichen Zahlen > 0 .

Naiv würde man meinen, die eine Menge "hat ein Element

mehr als die andere" , also nicht gleichmächtig.  Das ist

allerdings falsch; denn es gibt eine Bijektion:  x ---> x+1

von No nach N*, alsö beide gleichmächtig.  Schöne Geschichte dazu, kannst ja mal googeln"Hilberts Hotel".