Dreiecke. Restliche Winkel und Seiten berechnen. (iii) Alpha=45°, a = √2, b=1.

Question

irgendwie krieg ich diese doofe iii) nicht hin. !!

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Bitte Skizze beilegen. Geht es um ein Dreieck? Wie ist es beschriftet? 

EDIT: Ist es die Fortsetzung von https://www.mathelounge.de/379784/erklarung-bitte-parallelogramm ? Wohl nein. Hier: Nr. 2.2 dort Nr 2.4

Fragestellung vermutlich gefunden: Hier: https://www.mathelounge.de/379745/trigonometrie-und-satz-des-pythagoras

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die Aufgabe lautet:

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel.

Gegeben : alpha = 45, a=Wurzel 2, b= 1

Meine bisherigen Ergebnisse:

Durch den Sinussatz ergibt sich:

Beta = 30

Durch die Winkelsumme ist Gamma 105.

Jetzt ist nur das Problem, dass ich keinen Taschenrechner verwenden darf.

Ich weiß jetzt nicht, wie ich nun auf c kommen soll.

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Z.B gilt nach dem Kosinussatz: \(a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos\alpha\).
Daraus folgt \(c^2-\sqrt2\cdot c-1=0\). Die \(pq\)-Formel liefert \(c=\frac12\big(\sqrt2+\sqrt6\big)\).

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Ein paar Sinus- und Cosinuswerte solltest du eigentlich vom Pythagoras her kennen.

Bsp. Tabellen hier:  http://www.mathematische-basteleien.de/sinus.htm 

Answer 1

Hi, ich komme mit den Angaben aus der oben abgebildeten Aufgabe und der üblichen Benennung auf

$$ c= \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } + \sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } \approx 1.931851653 $$Die beiden Summanden ergeben sich mit dem Satz des Pythagoras leicht ohne Taschenrechner. Das Dreieck hat die Winkel 45°, 30° und 105°.

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Kannst du mir erklären, wie du auf c gekommen bist?:)

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Ich hab jetzt folgendes raus:

Beta = 45

Gamma= 105

c= Wurzel 2

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Ich hab jetzt folgendes raus: Beta = 45, Gamma= 105, c= Wurzel 2

Das geht nicht, denn dann wären die drei Innenwinkel zusammen 195 groß.

Kannst du mir erklären, wie du auf c gekommen bist?:)

Ich habe es so gemacht, wie es in der Aufgabenstellung selbst bereits angeregt wurde: Ich habe zunächst eine Skizze (stumpfwinkliges Dreieck mit den üblichen Benennungen und \(c\) als längster Seite) angefertigt. Darin habe ich dann die Höhe \(h_c\) eingezeichnet. Das bei A gelegene Teildreieck ist gleichschenklig, so dass sich die Schenkellängen mit dem Satz des Pythagoras ergeben. Danach habe ich das rechte Teildreieck mit dem Satz des Pythagoras ausgerechnet. Nach gefühlt zehnmaligem Verrechnen konnte ich schließlich die nun bekannten \(c\)-Abschnitte addieren und war fertig.

Beim Überprüfen der Lösung mit einem Computer hat sich dann herausgestellt, dass das zweite Teildreieck ein 30°-60°-90°-Dreieck ist. Darauf kann man auch vorher kommen und so das zweite Dreieck ohne Pythagoras berechnen.

Answer 2

a und b sind die Seitenlänge und Diagonalenlänge eines Einheitsquadrates (dazwischen liegen 45°). Dann ist c=1.

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Verstehe ich noch nicht ganz. a liegt normalerweise gegenüber von alpha. 

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Von rechtwinklig oder gleichschenklig war aber nirgends die Rede. Oder was hattest du da im Sinn?

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Meine Antwort gibt nur dann Sinn, wenn b gegenüber von α liegt, was ja wohl nicht der Fall ist.

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EDIT: Habe bei der 2. Frage von 445 ein Skizze mit einem Parallelogramm gefunden, zu dem die Frage passen könnte. Hier der Link: https://www.mathelounge.de/379784/erklarung-bitte-parallelogramm 

EDIT: Nein. Fragenummer kann nicht übereinstimmen. Dort ist die Nummer 2.4. Hier vermutlich 2.2. mit Anfant der Aufgabe  https://www.mathelounge.de/379745/trigonometrie-und-satz-des-pythagoras 

Answer 3

SIN(β) / b = SIN(α) / a

β = ARCSIN(SIN(α)/a·b) = ARCSIN(SIN(45°)/√2·1) = 30°

γ = 180° - α - β = 180° - 45° - 30° = 105°

c/SIN(γ) = a/SIN(α)

c = a/SIN(α)·SIN(γ) = √2/SIN(45°)·SIN(105°) = √6/2 + √2/2 = 1.932

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Was hältst du von 

SIN(105°) = SIN(60° + 45°)