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Was ist das Distributivgesetz und wie funktioniert es?

0 Daumen
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Ich habe keine Ahnung wie das Distributivgesetz funktioniert und bei was es anwendbar ist. Es wäre mir eine große Hilfe wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Gefragt 21 Aug 2013 von Gast ia2444

3 Antworten

+1 Punkt
Schau dir dazu mindestens folgendes Video an



Alle Videos unter http://www.matheretter.de/mathe-videos
Beantwortet 21 Aug 2013 von Der_Mathecoach Experte CLXXVII
+1 Punkt

Lasse dich nicht von dem fürchterlich klingenden Namen dieses Gesetzes abschrecken. Das Distributivgesetz wendest du intuitiv bereits mindestens seit deiner Grundschulzeit an, nämlich z.B. dann wenn du rechnest:

5 * 18 = 5 * 10 + 5 * 8 = 50 + 40 = 90

Dabei zerlegst du im Kopfe die Zahl 18 in die Summe 10 + 8, hast dann also 5 * ( 10 + 8 ) zu rechnen. Das wiederum spaltest du in 5 * 10 + 5 * 8 auf, bildest die beiden Produkte 5 * 10 = 50 und 5 * 8 = 40 und addierst sie: 50 + 40 = 90

Woher aber nimmst du dir das Recht, dies so zu machen?
Wieso darfst du einfach 5 * ( 10 + 8 ) durch 5 * 10 + 5 * 8 ersetzen?
Wer garantiert dir, dass 5 * ( 10 + 8 ) tatsächlich gleich 5 * 10 + 5 * 8 ist?

Du kannst es dir vermutlich bereits denken: Es ist eben dieses Rechengesetz mit diesem schrecklichen Namen Distributivgesetz.
Es besagt:

a * ( b + c ) = a * b + a * c

Wendet man dieses Gesetz auf das oben genannte Beispiel an ( also a = 5 , b = 10, c = 8 ), dann erhält man:

5 * ( 10 + 8 ) = 5 * 10 + 5 * 8

Es ist also das Distributivgesetz, welches dir garantiert, dass 5 * ( 10 + 8 ) denselben Wert liefert wie 5 * 10 + 5 * 8
Und nur aufgrund dieser Garantie darfst du überhaupt so rechnen.

 

Das Distributivgesetz kann man auch andersherum anwenden. Da laut dem Gesetz gilt

a * ( b + c ) = a * b + a * c

kann man damit auch den umgekehrten Weg gehen. Angenommen du hast 2 Säcke mit je 24 Äpfeln und noch 2 Säcke mit jeweils 32 Äpfeln. Wie viele Äpfel hast du dann insgesamt?

Nun, da könntest du natürlich rechnen:

2 * 24 + 2 * 32 = 48 + 64 = 112 .

Du kannst aber, aufgrund des Distributivgesetzes, auch den Faktor 2 aus der Berechnung ausklammern, kannst also rechnen:

2 * 24 + 2 * 32 = 2 * ( 24 + 32 ) = 2 * 56 = 112

Du schüttest also, um beim Beispiel zu bleiben, einen Sack mit 32 Äpfeln in einen Sack mit 24 Äpfeln und machst dasselbe mit den beiden anderen Säcken. Du hast dann 2 Säcke mit jeweils 24 + 32 = 56 Äpfeln (und zwei leere Säcke, die aber hier nicht von Interesse sind) und das sind zusammen eben 2 * 56 = 112 Äpfel.

 

Allgemein benötigt man das Distributivgesetz häufig zum Auflösen von Klammerausdrücken (siehe Teil 1 meiner Antwort) Diesen Vorgang nennt man "Ausmultiplizieren".

Gelegentlich benötigt man das Distributivgesetz aber auch zum Umwandeln einer Summe in ein Produkt. Ein typisches Beispiel dafür hat "Unknown" in seiner Antwort für das Kürzen eines Bruches gezeigt.
Diesen umgekehrten Vorgang (siehe Teil 2 meiner Antwort) nennt man "Ausklammern" oder auch "Herausheben" eines allen Summanden einer Summe gemeinsamen Faktors.

Beantwortet 21 Aug 2013 von JotEs Experte XXX

Lieber JotEs

Wunderbar, diese grossen und kleinen Säcke mit Aepfeln! Endlich einmal eine sehr anschauliche Erklärung der Begriffe. Meine Schüler werden Obst essen...- dank Dir!

Irissa

0 Daumen
Hi,

das Distributivgesetz hilft Dir, wenn Du mit Klammern zu tun hast. Es lautet unter anderem:

a(b+c)=ab+ac

D.h. hast Du eine Klammer und einen Faktor dazu, kannst Du ausmultiplizieren, indem Du den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer multiplizierst.


Andersrum ist das oft hilfreich für Brüche. Hast Du

(ab+ac)/(b+c)

gegeben, fällt es schwer zu erkennen, dass man Kürzen kann. Überhaupt dürfen ja nur Faktoren gekürzt werden.

Anwenden des Distributivgesetzes:

(ab+ac)/(b+c)=(a(b+c))/(b+c)=a

denn nun konntest Du die Faktoren (b+c) sowohl im Zähler als auch Nenner kürzen.


Grüße
Beantwortet 21 Aug 2013 von Unknown Experte CVIII

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