Beste Mathematiker Community-Chat

Mathe-Tools:

Plotlux Plotter
Geozeichner 2D
Geoknecht 3D
Formeleditor
TeX-Vorschau
Formelsammlung
weitere ...
Ohne Registrierung möglich: Stell deine Frage
Mathelounge.de ist das derzeit beste Mathe-Forum für Schüler und Studenten. Hier findet ihr eine motivierte Community, die eure Probleme schnell löst und eure Fragen verständlich beantwortet. Erspart euch viele Stunden der Nachhilfe und nutzt das kostenlose Matheforum, um eure schwierige Mathematik-Aufgabe einfach lösen zu lassen. Probleme bei Hausaufgaben? Wir helfen kostenlos.

Biquadratische Gleichung 2x^4 - 3x^2 - 20=0

0 Daumen
605 Aufrufe
2x^4-3x^2-20=0 Lösung mit Rechenweg bitte.

Bitte lösung mit rechenweg. Mit z einsetzen und der p q formel.
Gefragt 6 Sep 2013 von Gast hj2177

2 Antworten

+2 Daumen

2 x 4 - 3 x  2 - 20 = 0

<=> x 4 - 1,5 x 2  - 10 = 0

[Substituiere: z = x ² ]

<=> z ² - 1,5 z = 10

[quadratische Ergänzung berechnen und auf beiden Seiten addieren oder pq-Formel anwenden. Ich mach's mit der quadratischen Ergänzung. Diese ist ( 1,5 / 2 ) ² = 0,75 ², also::] 

<=> z ² - 1,5 z + 0,75 ² = 10 + 0,75 ² = 3,25 ²

<=> z - 0,75 = +/- 3,25

<=> z = - 2,5 ODER z = 4

Rücksubstitution:

x ² = - 2,5 => keine reellwertige Lösung

x ² = 4 <=> x = 2 ODER x = - 2

Die Lösungen der gegebenen Gleichung sind also x = - 2 und x = 2.   

Beantwortet 6 Sep 2013 von JotEs Experte XXX
<=> z ² - 1,5 z + 0,75 ² = 10 + 0,75 ² = 3,25 ²

<=> z - 0,75 = +/- 3,25


ist mir unklar? Wie hast du das umgeformt?


lg

Mit Hilfe der zweiten binomischen Formel (einen Zwischenschritt habe ich ausgelassen):

z  2 - 1,5 z + 0,75 2 = 3,25 ²

[Linke Seite mit der zweiten binomischen Formel zusammenfassen:]

<=> ( z - 0,75 ) 2 = 3,25 2

{Jetzt Wurzelziehen:]

<=>  z - 0,75 = +/- √ ( 3,25 ² )

<=> z - 0,75 = +/- 3,25

0 Daumen
2x^4-3x^2-20=0

z:=x^2

=> 2z^2-3z-20=0 | :2

z^2-(3/2)z-10=0

z_1,2=(3/2)+-√((3/2)^2+10)=(3/2)+-√((9/4)+10)=(3/2)+-√((9/4)+40/4)=(3/2)+-√(49/4)=(3/2)+-7/2

p/q-Formel anwenden
=> z_1=(3/2)+7/2=5 und z_2=(3/2)-7/2=-2

durch rücksubstitution

erhält man für z_1 die lösungen 5 und -5

und bei z_2 gibt es keine reellen Lösungen.

Brauchst du die komplexen Lösungen auch?
Beantwortet 6 Sep 2013 von tuni09 Experte I

5 bzw. - 5 sind aber nicht wirklich Lösungen der gegebenen Gleichung ...

Setzt man ein, erhält man:

2 * 5 4 - 3 * 5 2  - 20 = 1155 <> 0

2 * ( - 5 ) 4 - 3 * ( - 5 ) 2 - 20 = 1155 <> 0

wollte eigentlich +√5 und -√5 schreiben.

Halt normale Rücksubstitution. Aber danke.


Aber irgendwo muss bei mir ein Fehler sein, weil hab nicht das gleiche wie du

In deiner 5. Zeile wendest du die pq-Formel an. p hat aufgrund der vorherstehenden Gleichung dabei den Wert - 3 / 2. 

In die pq-Formel ist aber zu Beginn und unter der Wurzel der Wert ( - p / 2 ) einzusetzen, also

- ( - 3 / 2 ) / 2 = 3/4

Statt dessen hast du einfach nur - p = 3 / 2 eingesetzt.

Habs scho es gehört nicht 3/2 sonder 3/4 und das gleich dann natürlich in der Wurzel.

2x4-3x2-20=0

z:=x2

=> 2z2-3z-20=0 | :2

z2-(3/2)z-10=0

p/q-Formel anwenden
z_1,2=(3/4)+-√((3/4)2+10)=(3/2)+-√((9/16)+10)=(3/2)+-√((9/16)+160/16)=(3/2)+-√(169/16)=(3/4)+-13/4

=> z_1=(3/4)+13/4=16/4=4 und z_2=(3/4)-13/4=-5/2

durch rücksubstitution folgen dann die Lösungen von JotEs

danke JotEs fürs helfen :)

Immer wieder gerne - und übrigens:

Herzlich Willkommen hier bei Mathelounge

(sofern ich das als 3-Monatiger schon sagen darf ... :-) )

danke dir :)

  Ein anderes Problem?
Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und ohne Registrierung

x
...