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Für die Gleichungen 1., 2., 3. und 4.Grades lassen sich Lösungsformeln ableiten. Für eine Gleichung 5. Grades ist mir kein Beispiel für einen Lösungsweg mit der Galois-Theorie bekannt. EIne Gleichung 5. Grades könnte zum Beispiel entstehen, wenn der Effektivzins eines über 5 Jahre laufenden Ratenvertrages berechnet werden soll.
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Wenn ich mich nicht irre, wurde mathematisch bewiesen, dass sich Gleichungen ab 5. Grad nicht mit Lösungsformeln lösen lassen!
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In der Tat, eine allgemeine Lösungsformel gibt es wohl nicht für Gleichungen 5. Grades, die ist allerdings auch gar nicht gesucht. Es soll aber nach der Galois-Theorie eine Lösung bestimmter Gleichungen 5. Grades möglich sein. Mich wuerde einmal ein Beispiel interessieren.

Übrigens gilt folgendes: cos (5phi) = 16 (cos phi)^5 -20 (cos phi)^3 +5 (cos phi)

und  2cosh (5u) = e^{5u} +e^{-5u} = (e^u +e^{-u})^5 -5 (e^u +e^{-u})^3 +5 (e^u +e^{-u})

= (2cosh(1u))^5 -5 (2cosh(1u))^3 +5 (2cosh(1u))

Das heißt, wenn eine Gleichung in der Form x^5 -5 x^3 +5 x +q = 0 (q beliebig reell) vorliegt oder auch allgemeiner in der Form x^5 -5 k x^3 +5 k^2 x +q = 0 (k beliebige positiv reell, q beliebig reell) vorliegt, dann ließe sich diese prima lösen:

x1 = 2 *(k)^{1/2} * cos (1phi)

mit  -2 * (k)^{5/2} * cos (5phi) = q, also

bzw.

x1 = 2 *(k)^{1/2} *cosh (1u)

mit -2*(k)^{5/2} * cosh (5u) = q

x1 = 2 * (k)^{1/2} * cos ( 1/5 acos (-q/2/(k)^{5/2}) ) falls |-q/2/(k^{5/2})| <= 1

bzw

x1 = 2 * (k)^{1/2} * cosh ( 1/5 acosh (-q/2/(k)^{5/2}) ) falls |-q/2/(k^{5/2})| > 1  und q < 0

Falls q > 0 , so gilt, das x1 negativ ist:

x1 = -2 * (k)^{1/2} * cosh ( 1/5 acosh (+q/2/(k)^{5/2}) ) falls |cos (5phi)| > 1 und q > 0

 

Da zudem gilt 

2*sinh (5u) = e^{5u} -e^{-5u} = (e^u -e^{-u})^5 +5 (e^u -e^{-u})^3 +5 (e^u -e^{-u})

 = (e^{5u} -e^{-5u} -5(e^{3u} -e^{-3u}) +10(e^u -e^{-u})

 + 5 ( e^{3u} -e^{-3u} -3(e^u -e^{-u}) )

+5(e^u -e^{-u})

kann eine Gleichung der Form x^5 +5 x^3 +5 x +q = 0 (q beliebig reell) oder allgemeiner in der Form

x^5 +5 k x^3 +5 k^2 x +q = 0 (k beliebig positiv reell, q beliebig reell) ebenfalls gelöst werden:

x1 = 2 * (k)^{1/2} * sinh (1u)  mit  -2 * (k)^{5/2} * sinh (5u) = q, also

x1 = 2 * (k)^{1/2} * sinh ( 1/5 arsinh (-q/2/(k^{5/2}) )

 

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