Rekonstruktion von Funktionen: Ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmen

Question

Ich komme bei meiner Mathe Aufgabe nicht weiter und hoffe das ihr mir weiterhelfen könnt.

Die Aufgabe lautet:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion g dritten Grades berührt die Winkelhalbierende des ersten Quadranten bei x=1 und ändert sein Krümmungsverhalten in P(0/0,5).

Ich komme nur auf die 2 Ansätze P(0/0,5) also d = 0,5 und Wp(0/0) b = 0.

Hab in anderen Foren gelesen das a+b+c+d = 1 lautet bzw. a + c + 0,5 = 1
und 3a + 2b + c = 1 bzw. 3a + c = 1

Mit den Informationen könnte ich auf die Lösung kommen doch ich weiß nicht wie man auf diese Ansätze kommt.

"berührt die Winkelhalbierende des ersten Quadranten bei x=1" <- Könnte mir den Satz jemand bildlich/ vorstellhaft einfach erklären.

Ich weiß, dass die Funktion am Ende 0.25x^3 + 0.25x + 0.5 lautet.

Brauche wirklich nur die Ansätze bzw. wie man sie aus dem Text herausliest die Rechnungen kann ich schon.

Comments

Die Winkelhalbierende ist die Gerade g(x) = x. Wenn die Funktion f die Gerade g bei x = 1 berührt, dann ist f(1) = g(1) = 1 und f'(1) =g'(1) = 1.

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heißt das "berührt die Winkelhalbierende des ersten Quadranten bei x=1" bedeutet nur P(1/1) ?

und wie kommt man darauf das die Steigung auch 1 ist?

Answer 1

"berührt die Winkelhalbierende des ersten Quadranten bei x=1"

bedeutet:

1) die Funktionswerte der gesuchten Funktion g ( x ) = a x ³ + b x ² + c x + d und der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten ( Funktionsgleichung h ( x ) = x  ) an der Stelle x = 1 sind gleich, also:

g ( 1 ) = h ( 1 )

und da h ( 1 ) = 1 ist, gilt also:

g ( 1 ) = 1

2) h ( x ) ist  Tangente an g ( x ) an der Stelle x = 1, also sind auch die Steigungen von g ( x ) und h ( x ) an der Stelle x = 1 gleich, also:

g ' ( 1 ) = h ' ( 1 )

und da h ' ( x ) = 1 ist, gilt also:

g ' ( 1 ) = 1

Außerdem gilt:

3) Der Punkt P( 0 | 0,5 ) liegt auf dem Graphen von g ( x ) , muss also die Funktonsgleichung erfüllen, also:

g ( 0 ) = 0 ,5

4 ) Der Punkt P ist Wendepunkt von g, also muss an der Stelle x = 0 die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt:

g ' ' ( 0 ) = 0

gelten.

 

Aus 3) folgt sofort d = 0,5 und aus 4) ergibt sich mit g ' ' ( 0 ) = 6 a * 0  + 2 b = 0  <=> b = 0

Eingesetzt in 1)

g (1 ) = a * 1 ³ + 0 * 1  ² + c * 1  + 0,5 = 1 

<=> a + c = 0,5

<=> c = 0,5 - a

und in 2)

g ' ( 1 ) = 3 * a * 1 ² + 2 * 0 * 1 + c = 1

<=> 3 a + 0,5 - a = 1

<=>  2 a  = 0,5

<=> a = 0,25

Darus ergibt sich mit c = 0,5 - a :

c = 0,25

Also lautet die Gleichung der gesuchten Funktion g:

g ( x ) = 0,25  x ³ + 0,25  x  + 0,5

Diese stimmt mit der von dir genannten überein!

Hier ein Schaubild von g ( x ) und der Winkelhalbierenden h ( x ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2C0.25x^3%2B0.25x%2B.5from-1.5to2

Comments

Hat jeder Quadrant eine eigene Funktionsgleichung?

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Quadranten haben keine Funktionsgleichung, wohl aber die Winkelhalbierenden der Quadranten.

Die Winkelhalbierende des ersten Quadranten ist auch Winkelhalbierende des dritten Quadranten. Ihre Funktionsgleichung ist:

h₁ ( x ) = x

Die Winkelhalbierende des zweiten Quadranten ist auch Winkelhalbierende des vierten  Quadranten. Ihre Funktionsgleichung ist:

h₂ ( x ) = - x

Answer 2

Hi,

Die Winkelhalbierende hat die Steigung 1. Bzw. die Gleichung y = x.

Berühren an x = 1 bedeutet für uns, dass der Berührpunkt Q(1|1) lautet.

Die Bedingungen lauten also:

f(1)=1

f'(1)=1

f(0) = 0,5

f''(0)=0

Das Gleichungssystem:

a + b + c + d = 1

3a + 2b + c = 1

d = 1/2

2b = 0

Es ergibt sich f(x) = 0,25x^3 + 0,25x + 0,5

 

Also leicht was anders, als von Dir genannt.

 

Grüße

Comments

Warum ist f'(1) = 0 und nicht f'(1) = 1?

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f'(1)=0

Die Bedingung muss lauten: f ' ( 1 ) = 1

denn die Winkelhalbierende soll den Graphen der gesuchten Funktion berühren, also Tangente sein und damit bei x = 1 dieselbe Steigung haben wie der Graph der gesuchten Funktion. Die Winkelhalbierende aber hat überall die Steigung 1.

Hier das Schaubild deiner Funktion und der Winkelhalbierenden.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-0.25x^3%2B0.75x%2B0.5%2C+x

Offensichtlich schneidet deine Funktion die Winkelhalbierende und berührt sie nicht nur.

(Im übrigen soll die gesuchte Funktion nicht f ( x ) sondern g ( x ) heißen)

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Sry mein Fehler. War auf dem Sprung und hatte, das zwar gelesen, aber nicht berücksichtigt. Ist ausgebessert :).