Gleichung mit Wurzel lösen: √(2x-11)-√(x-2)=1

Question

Hi, bei folgender Aufgabe: √(2x-11)-√(x-2)=1 habe ich ein Problem diese zu lösen.

Ich habe das Ergebnis aber komme leider nicht selber drauf, ich bring die Gleichung auf 0=x²+60x+108 und rechne das dann über die PQ-formel aus, leider kommt bei mir das Falsche Ergebnis raus.

Kann mir jemand helfen und weiß wer was ich falsch mache?

M.f.G.

Answer 1

Nun, da hast du dich wohl irgendwo verrechnet.

 

√ ( 2 x - 11 ) - √ ( x - 2 ) = 1

<=> √ ( 2 x - 11 )  = 1 + √ ( x - 2 )

Nun quadrieren ( Obacht! Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, denn dabei können zusätzliche "Lösungen" entstehen. Daher müssen alle gefundenen Lösungen im Nachhinein auf Korrektheit geprüft werden! )

2 x - 11 = 1 + 2 * √ ( x - 2 ) + x - 2

<=> x - 10 = 2 √( x - 2 )

Noch einmal quadrieren:

x ² - 20 x + 100 = 4 * ( x - 2 ) = 4 x - 8

<=> x ² - 24 x + 108 = 0

Nun pq-Formel oder "zu Fuß" mit der quadratischen Ergänzung:

<=> x ² - 24 x = - 108

<=> x ² - 24 x + 144 = 36

<=> ( x - 12 )² = 36

<=> x - 12 = +/- 6

<=> x = 6 oder x = 18

Prüfung der "Lösungen":

x = 6: 

√ ( 2 * 6 - 11 ) - √ ( 6 - 2 ) = 1 - 2 = - 1 ≠ 1

=> x = 6 ist keine Lösung!

x = 18:

√ ( 2 * 18  - 11 ) - √ ( 18 - 2 ) = 5 - 4 = 1

=> x = 18 ist die einzige Lösung

Answer 2

 

√(2x-11) - √(x-2) = 1 | Quadrieren

2x - 11 - 2 * √(2x - 11) * √(x - 2) + x - 2 = 1

2x - 11 - 2 * √[(2x - 11) * (x - 2)] + x - 2 = 1

2x - 11 - 2 * √(2x² - 4x - 11x + 22) + x - 2 = 1

-2 * √(2x² - 15x + 22) = 14 - 3x | Quadrieren

4 * (2x² - 15x + 22) = 196 - 84x + 9x²

8x² - 60x + 88 = 9x² - 84x + 196

x² - 24x + 108 = 0 | Das ist eine andere Gleichung als Deine!

x_1,2 = 12 ± √(144 - 108) = 12 ± √36

x₁ = 18

x₂ = 6

Wegen des geschehenen Quadrierens unbedingt die Probe durchführen:

√(2 * 18 - 11) - √(18 - 2) = 5 - 4 = 1

√(2 * 6 - 11) - √(6 - 2) = 1 - 2 = -1

Daher:

x = 18

 

Besten Gruß

Comments

Ich habe meinen dummen Fehler gefunden und behoben!

Merci für deine und die anderen Antworten, jetzt geht es weiter =)

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Gern geschehen!

Fehler passieren jedem, das weiß kaum einer besser als ich :-)

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Die nächste Aufgabe sieht folgendermaßen aus: √((4)5x+8) -2 =√((2)5x+7)

muss ich, oder ist es von Vorteil die beiden Wurzeln vor dem quadrieren auf eine Seite zu holen?


M.f.G.

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Was sind denn die eigeklammerten Zahlen (4) und (2)????

Du kannst eigentlich direkt quadrieren. Einfach beachten, dass du links die binomische Formel benutzen musst.

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Ich denke, das soll heißen

⁴√(5x + 8) - 2 = √(5x + 7)

Ich würde es wahrscheinlich bei dieser Verteilung belassen, dann steht nach dem Quadrieren nur noch links vom Gleichheitszeichen etwas Kompliziertes.

Am Besten wäre es, diese Aufgabe als eine neue zu posten :-)

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Das sollte heißen das die Wurzel über 4(5x+8) geht.

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Schreib das bitte in Worten dazu, falls du die Frage noch posten willst. Du darfst aber gern erst mal selbst versuchen. Es geht ja im Prinzip genau gleich wie hier.

Answer 3

Hallo M.f.G,

  √(2x-11)-√(x-2)=1
  √(2x-11) = √(x-2) + 1 l quadrieren
  2x - 11 = x - 2 + 2* √(x-2 ) + 1
  2x - 11 - x + 2 - 1 =  2* √(x-2 )
  x -10 = 2* √(x-2 )  l quadrieren
  x^2 - 20x + 100 = 4 * ( x - 2 )
  x^2 - 20x + 100 = 4x - 8
  x^2 - 20x - 4x = -108
  x^2 - 24x = -108
  x^2 - 24x + 12^2 = -108 + 144
  ( x - 12)^2 = 36
  x - 12 = ± 6

  x = 18

  Probe
  √(2 * 18 -11)-√(18-2)=1
√25-√16=1 l stimmt

  mfg Georg