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(a) sin 2x = 2 sin x cos x
(b) cos 2x = cos2 x sin2 x
(c) sin2 x = 1/2(1 cos 2x)
(d) cos2 x = 1/2(1 + cos 2x)
(e) sin x cos y = 1/2(sin(x - y) + sin(x + y))

 

Ich habe keine Ahnung, wie man mit sinus und cosinus die reellen Zahlen zeigen soll. Wäre super, wenn mir jemand bei den Aufgaben helfen könnte!

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Du musst hier nur zeigen, dass die Formeln allgemeingültig sind.

x und y sind hier Winkel, die du dir am Einheltskreis einzeichnen kannst; mehrmals rundherum bedeutet in IR. Man kann das modulo 2 Pi resp. 360° betrachten.

Die ersten beiden Formeln sind Doppelwinkelformeln.

Die folgen eigentlich direckt aus den sogenannten Additionstheoremen. 

Ebenso kannst du e mit den Formeln der Additionstheoreme beweisen.

Bei b) fehlt ein Subtraktionszeichen. Ich füge das gleich noch in die Aufgabenstellung ein. Bei c kannst du nach der 1 auch mit  - oder + rechnen. Das Zeichen fehlt da bestimmt.

c und d folgen aus b , wenn du Pythagoras am Einheitskreis benutzt,

also:  sin^2 ALPHA + cos^2 ALPHA= 1

Schau mal, was zu Additionstheoremen in der Wikipedia steht. (Hilft hoffentlich!)

https://de.wikipedia.org/wiki/Additionstheoreme_(Trigonometrie)#Additionstheoreme

 

Bei c) sollte ebenfalls ein Subtraktionszeichen stehen. Muss die Aufgaben auch machen.

1 Antwort

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Annahme man kennt die Additionstheoreme, d.h.

Additionstheoreme 

1. sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B

2.a) cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B

2.b) cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B

 

(a) sin 2x = 2 sin x cos x

Setze in 1. A = B = x

sin 2x = sin (x+x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x qed


(b) cos 2x = cos 2 x – sin 2 x

Setze in 2.a) A = B = x

cos 2x = cos (x+x) = cos2 x - sin2x


(c) sin2 x = 1/2(1 – cos 2x)

Formel aus (b) einsetzen

1/2(1 – cos 2x) = 1/2( 1- cos2 x + sin2 x) =            |Pythagoras

1/2( sin2 x + sin2 x) = sin2 x                 qed

 


(d) cos2 x = 1/2(1 + cos 2x)

1/2(1 + cos 2x) = 1/2( 1+ cos2 x - sin2 x) =        |Pythagoras

1/2( cos2 x + cos2 x) = cos2 x                         qed

 


(e) sin x cos y = 1/2(sin(x - y) + sin(x + y))

Benutze Formel 1. mit x=A und y = B

1/2(sin(x - y) + sin(x + y)) = 1/2(sin x cos y - cos x sin y + sin x cos y + cos x sin y)

1/2( 2 sin x cos y) = sin x cos y                 qed 

 

 

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