Wie sind die Abmessungen des Fensters (Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis) zu wählen?

Question

Hallo

Ein Fenster soll die Form eines Rechtecks mit oben aufgesetztem Halbkreis haben.
Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit bei fest vorgegebenem Umfang U der rechteckige Teil des Fensters möglichst groß wird?

Answer 1

Sei a die Breite des Fensters und b die Höhe.

Der Umfang des Fensters errechnet sich aus U = a+2b + 1/2*π*a.

Die Fläche des Rechteckes errechnet sich aus A (a;b) =a*b

Aus der ersten Gleichung folgt: b = (U-a-a*π/2) / 2

Damit ist der Flächeninhalt:

A (a) = a * (U-a-a*π/2) / 2 = (Ua-a²-a²*π/2) / 2

Das soll maximal werden.

Ableitung:

A ' (a) = (U-2a-πa) / 2

Nullsetzen:

0 = (U-2a-πa) / 2

0 = U+a(-2-π)

a = U/(2+π) ≈ 0,19 * U

Zweite Ableitung: A ''(a) = -1-π/2 für alle a, also <0.

b = (U-U/(2+π)-U/(2+π)*π/2) / 2 = U/2 * (1-1/(2+π)-π/(4+2π)) = 0,25*U

Die Abmessungen müssen also a=0,19U und b=0,25U sein.