Lineare Algebra - Spiegelungsmatrix

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Da es so gut mit der Projektionsmatrix geklappt hat , wollte ich gleich noch eine Aufgabe zu der Spiegelungsmatrix stellen:

Vektoren: b1 =  , b2 = , b3 = Spiegelungsmatrix: S

Die Matrix spiegelt an der durch b1,b3 aufgespannten Ebene.

a) Erzeugen Sie aus den Vektoren b1,b2,b3 ein Orthonormalsystem k1,k2,k3 . Dabei soll k1 die gleiche Richtung haben wie b1 und die durch k1,k3 und b1,b3 aufgespannten Ebenen sollen identisch sein. 

b) Bestimmen Sie die Spiegelungsmatrix S in der Standardbasis e1,e2,e3 mit Hilfe geeigneter Basistransformationen.

 

Meine Ideen : Wie man ein Orthonormalsystem erzeugt weiß ich (othogonal stellen, vektoren normieren). Mir geht es mehr darum zu erfahren, wie man dabei die Richtung der Vektoren beibehält...

Spiegelungsmatrix hat glaube ich diese Form :  (Spiegelung an der x-Achse in diesem Fall)

Hoffe mir kann jemand helfen !

Danke im Voraus !!

 

Gefragt 28 Jun 2012 von dansibo
Hallo,

könntest du mir kurz erläutern, wie du die Spiegelmatrix bestimmt hast ?

1 Antwort

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Orthogonalisieren kannst du z.b. mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren.

Der einzige Vektor, der dabei komplanar mit seine Urbild und dem ersten Vektor bleibt, ist dabei der erste, auf den das Verfahren angewandt wird, also muss man b1 als erste Richtung festlegen und dann erst b3 orthonormieren.

 

Das Schmidtsche Verfahren lautet:
ai= bi - Σj<i <bi, aj>aj/<aj,aj>

Die daraus folgenden Vektoren sind bereits orthogonal, normiert werden kann dann gemäß:

ki=ai/||ai||

Zunächst folgt:

 

a1=(1,0,1)

a3=(2,0,1)-<(2,0,1),(1,0,1)>*(1,0,1)/<(1,0,1),(1,0,1)> = (2,0,1) - 3/2 * (1,0,1) = (0.5, 0, -0,5)

Wähle der Einfachheit halber (normiert wird sowieso erst später a3=(1,0,-1)

a2=(1, -1, 1) - <(1,-1,1),(1,0,1)>*(1,0,1)/<(1,0,1),(1,0,1)> - <(1,-1,1), (1,0,-1)>*(1, 0, -1)/<(1,0,-1),(1,0,-1)>
= (1,-1,1) - 2*(1,0,1)/2 - 0*(1,0,-1)/2 = (0,-1,0)

 

Normierung:

k1=1/sqrt(2) * ( 1,0,1)
k2=(0,-1,0)

k3=1/sqrt(2)*(1,0,-1)

In dieser Basis gilt für die Spiegelung an der Ebene, dass k1 und k3 unverändert bleiben, aber k2 in -k2 übergeht, die Spiegelung hat in dieser Basis also die Matrix P', siehe unten.

Die Matrix, die den Basisübergang von der Einheitsbasis e zur Basis k beschreibt, ist M, was sich leicht prüfen lässt, indem man M nacheinander mit den Einheitsvektoren e1, e2, e3 multipliziert.
 

Eine Matrix transformiert sich bei Basisübergang dann gemäßt P=MtP'M

Mt ist hier das gleiche wie M, das Produkt lässt sich leicht ausrechnen, es folgt (für diesen Spezialfall)

P=P'

Beantwortet 30 Jun 2012 von Julian Mi Experte X
Super ! Vielen Dank!

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