Lösbarkeitskriterium für lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen

Question

Wir haben in mathe zur obenstehenden überschrift folgendes aufgeschrieben: Ein lineares gleichungsystem mit 2 variableb für G=R genau dann 1 unlösbar, wenn die homogenen, nicht aber die inhomogenen gleichungrn proportional sind 2 eindeutig lösbar, wenn die homogenen gleichungen nicht proportional sind 3 mehrdeutig lösbar, wenn die inhomogen gleichungen proportional sind Das hat er uns an der gleichung: 2x+3y erklärt, doch ich habe es nicht verstanden. Kann mir das bitte jemand erklären?

Answer 1

1 unlösbar, wenn die homogenen, nicht aber die inhomogenen gleichungrn proportional sind

2x + 3y = 4
4x + 6y = 9

Für die Homogenen Gleichungen ersetzt du die rechten Seiten gedanklich durch 0. Dann ist die untere Gleichung das doppelte der oberen. Das inhomogene ist wenn wir rechts die 4 und die 9 haben. Jetzt ist die untere nicht mehr das doppelte der oberen Gleichung und damit nicht proportional. Daher gibt es hier keine Lösung.

 

2 eindeutig lösbar, wenn die homogenen Gleichungen nicht proportional sind 

2x + 3y = 4
4x + 7y = 9

Die homogenen sind hier nicht linear abhängig. Also wenn ich die rechte seite durch 0 ersetze ist die untere Gleichung kein Vielfaches der oberen. Dadurch ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.

 

3 mehrdeutig lösbar, wenn die inhomogen gleichungen proportional sind 

2x + 3y = 4
4x + 6y = 8

Die untere Gleichung ist genau das doppelte der oberen und damit linear abhängig. Hier ist das Gleichungssystem daher mehrdeutig lösbar.